2.2 Formulation de la programmation dynamique
A l'aide de la programmation dynamique, les options sont
évaluées par induction arrière en partant de la date
d'échéance T. A cette date, la valeur de l'option est connue et
elle vaut x(T, ST). Comme l'univers dans lequel on se situe est supposé
risque-neutre, la valeur de l'option à la date T - 1 peut être
calculée comme la valeur espérée à la date T
actualisée au taux d'intérêt sans risque r. De même,
la valeur à la date T - 2 peut être calculée comme la
valeur espérée à la date T - 1
actualisée au taux r; et ainsi de suite jusqu'à la date initiale.
Pour les options américaines, il est nécessaire de
vérifier à chaque date t si l'exercie immédiat est
préférable à la détention de l'option pour un jour
supplémentaire. La valeur de l'option à la date 0 est ainsi
déterminée par induction arrière sur tout l'intervalle [0,
T].
2.2.1 Equations de récurrence
On note vt(s, h, b) la valeur de l'option à la date t
quand St = s, Ht+1 = h et Bt = b, selon le prix ait franchi la barrière
ou non.
La condition initiale du programme dynamique stipule qu'à
la maturité, la valeur de l'option s'écrit :
vT(s, h, b) = x*(T, s, b) (2.6)
La valeur d'exercice de l'option à la date t, pour t E [0,
T], est définie par :
ve t (s, h, b) = x*(t, s, b) (2.7)
La valeur de détention de l'option à la date t,
pour t E [0, T], est donnée par:
vh t (s, h, b) = e_r(E[vt+1(St+1, Ht+2, Bt+1 = 0) St
= s, Ht+1 = h, Bt = b]
+ E[vt+1(St+1, Ht+2, Bt+1 = 1) St = s, Ht+1 = h, Bt = b])
(2.8)
= e_r(Etshb[vt+1(St+1, Ht+2, 0)] + Etshb[vt+1(St+1,
Ht+2, 1)])
Ainsi, la valeur de l'option à la date t sera :
vt(s, h, b) = max{ve t (s, h, b), vh t (s, h, b)}
(2.9)
L'idée d'utiliser la variable binaire Bt vient du
principe suivant : Si à la date t, le prix du sous-jacent franchit la
barrière, alors Bt = 1 et la valeur de l'option sera égale
à vt(s, h, 1). Sinon, si le prix n'a pas franchi la barrière, il
y a deux possibilités. La première est que si les prix du sous
jacent à des dates antérieures à t ont déjà
franchi la barrière, alors la valeur de l'option sera toujours
égale à vt(s, h, 1). La seconde est que si les prix
antérieurs n'ont jamais dépassé la barrière, alors
Bt = 0 et la valeur de l'option sera égale à vt(s, h, 0).
Pour évaluer l'option à barrière, on
résout les équations (2.6)-(2.9) en reculant dans le temps de la
valeur connue de l'option vT jusqu'à v0, en identifiant la meilleure
stratégie à chaque date t. La solution de ces équations ne
peut pas être calculée sous une forme exacte. En effet, la
résolution de ce système consiste à calculer une
espérance conditionnelle qui n'est autre qu'une intégrale
multiple (T intégrales consécutives) sous l'espace du cours du
sous-jacent et de la volatilité. Pour cela, nous allons donner une
approximation de la fonction valeur pour faciliter le calcul de
l'espérance. Dans notre travail, on a choisi une approximation
polynomiale comme approximation de la fonction valeur vt.
2.2.2 Une approche polynomiale
L'approximation polynomiale consiste en un premier temps
à discrétiser l'espace du prix du sous-jacent et l'espace de la
volatilité en des points bien déterminés. La valeur de
l'option sera tout d'abord calculée en ces points. En deuxième
lieu, à l'aide de l'interpolation polynomiale, on peut retrouver la
valeur de l'option en tout point de l'espace (prix sous-jacent,
volatilité).
La fonction valeur vt(s, h, b) est une fonction de deux
variables d'états (s, h) et d'une variable binaire b. Ainsi, afin
d'approcher cette fonction, on devra faire une approximation polynomiale pour
chaque variable d'état s et h. Pour ce faire, on se donne deux entiers
non nuls M et N. On discrétise l'espace des prix du sous-jacent et de la
volatilité respectivement en M et N points distincts comme suit : 0 = a0
< a1 < ... < aM < aM+1 = oc pour le cours du sous-jacent et 0 <
d0 <d1 < ... <dN <dN+1 = oc pour la volatilité. On
définit alors la grille de points suivantes :
GMN = {(ai, dj) j i = 0, ...,M et j = 0, ..., N}
On suppose que la valeur evt(s, h, b) est connue aux points s
= ai pour i = 0, .., M, h = dj pour j = 0, .., N et b E {0, 1}. On
définit l'interpolation polynomiale sur la fonction evt comme suit :
bvt(s,h,b) = XM XN P d
ijtb(s,h)li((s,h) E [ai,ai+1) x [dj,dj+1))
(2.10)
i=0 j=0
où I est la fonction indicatrice et P d ijtb(s, h) est
l'interpolation polynomiale de degré d qui satisfait
P d ijtb(ai, dj) =evt(ai,dj,b), i = 0,...,M, j = 0,...,N, b E
{0,1}
et
P d ijtb(s,dj) = evt(aM, dj, b) pour s > aM, b E {0, 1}
P
d ijtb(ai, h) = evt(ai, dN, b) pour h > dN, b E {0, 1}
Sous cette approximation, les équations (2.6) - (2.9) de
la programmation dynamique deviennent :
evT(s,h,b) = x*(T,s,b)
eve t (s, h, b) = x*(t,s,b) (2.11)
evh t (s, h, b) =
e_r(Etshb[bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] +
Etshb[bvt+1(St+1, Ht+2, 1)]) evt(s,h,b) = max{eve t
(s,h,b), evh t (s,h,b)}
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