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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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2.2 Formulation de la programmation dynamique

A l'aide de la programmation dynamique, les options sont évaluées par induction arrière en partant de la date d'échéance T. A cette date, la valeur de l'option est connue et elle vaut x(T, ST). Comme l'univers dans lequel on se situe est supposé risque-neutre, la valeur de l'option à la date T - 1 peut être calculée comme la valeur espérée à la date T actualisée au taux d'intérêt sans risque r. De même, la valeur à la date T - 2 peut être calculée comme la

valeur espérée à la date T - 1 actualisée au taux r; et ainsi de suite jusqu'à la date initiale. Pour les options américaines, il est nécessaire de vérifier à chaque date t si l'exercie immédiat est préférable à la détention de l'option pour un jour supplémentaire. La valeur de l'option à la date 0 est ainsi déterminée par induction arrière sur tout l'intervalle [0, T].

2.2.1 Equations de récurrence

On note vt(s, h, b) la valeur de l'option à la date t quand St = s, Ht+1 = h et Bt = b, selon le prix ait franchi la barrière ou non.

La condition initiale du programme dynamique stipule qu'à la maturité, la valeur de l'option s'écrit :

vT(s, h, b) = x*(T, s, b) (2.6)

La valeur d'exercice de l'option à la date t, pour t E [0, T], est définie par :

ve t (s, h, b) = x*(t, s, b) (2.7)

La valeur de détention de l'option à la date t, pour t E [0, T], est donnée par:

vh t (s, h, b) = e_r(E[vt+1(St+1, Ht+2, Bt+1 = 0) St = s, Ht+1 = h, Bt = b]

+ E[vt+1(St+1, Ht+2, Bt+1 = 1) St = s, Ht+1 = h, Bt = b]) (2.8)

= e_r(Etshb[vt+1(St+1, Ht+2, 0)] + Etshb[vt+1(St+1, Ht+2, 1)])

Ainsi, la valeur de l'option à la date t sera :

vt(s, h, b) = max{ve t (s, h, b), vh t (s, h, b)} (2.9)

L'idée d'utiliser la variable binaire Bt vient du principe suivant : Si à la date t, le prix du sous-jacent franchit la barrière, alors Bt = 1 et la valeur de l'option sera égale à vt(s, h, 1). Sinon, si le prix n'a pas franchi la barrière, il y a deux possibilités. La première est que si les prix du sous jacent à des dates antérieures à t ont déjà franchi la barrière, alors la valeur de l'option sera toujours égale à vt(s, h, 1). La seconde est que si les prix antérieurs n'ont jamais dépassé la barrière, alors Bt = 0 et la valeur de l'option sera égale à vt(s, h, 0).

Pour évaluer l'option à barrière, on résout les équations (2.6)-(2.9) en reculant dans le temps de la valeur connue de l'option vT jusqu'à v0, en identifiant la meilleure stratégie à chaque date t. La solution de ces équations ne peut pas être calculée sous une forme exacte. En effet, la résolution de ce système consiste à calculer une espérance conditionnelle qui n'est autre qu'une intégrale multiple (T intégrales consécutives) sous l'espace du cours du sous-jacent et de la volatilité. Pour cela, nous allons donner une approximation de la fonction valeur pour faciliter le calcul de l'espérance. Dans notre travail, on a choisi une approximation polynomiale comme approximation de la fonction valeur vt.

2.2.2 Une approche polynomiale

L'approximation polynomiale consiste en un premier temps à discrétiser l'espace du prix du sous-jacent et l'espace de la volatilité en des points bien déterminés. La valeur de l'option sera tout d'abord calculée en ces points. En deuxième lieu, à l'aide de l'interpolation polynomiale, on peut retrouver la valeur de l'option en tout point de l'espace (prix sous-jacent, volatilité).

La fonction valeur vt(s, h, b) est une fonction de deux variables d'états (s, h) et d'une variable binaire b. Ainsi, afin d'approcher cette fonction, on devra faire une approximation polynomiale pour chaque variable d'état s et h. Pour ce faire, on se donne deux entiers non nuls M et N. On discrétise l'espace des prix du sous-jacent et de la volatilité respectivement en M et N points distincts comme suit : 0 = a0 < a1 < ... < aM < aM+1 = oc pour le cours du sous-jacent et 0 < d0 <d1 < ... <dN <dN+1 = oc pour la volatilité. On définit alors la grille de points suivantes :

GMN = {(ai, dj) j i = 0, ...,M et j = 0, ..., N}

On suppose que la valeur evt(s, h, b) est connue aux points s = ai pour i = 0, .., M, h = dj pour j = 0, .., N et b E {0, 1}. On définit l'interpolation polynomiale sur la fonction evt comme suit :

bvt(s,h,b) = XM XN P d ijtb(s,h)li((s,h) E [ai,ai+1) x [dj,dj+1)) (2.10)

i=0 j=0

où I est la fonction indicatrice et P d ijtb(s, h) est l'interpolation polynomiale de degré d qui satisfait

P d ijtb(ai, dj) =evt(ai,dj,b), i = 0,...,M, j = 0,...,N, b E {0,1}

et

P d ijtb(s,dj) = evt(aM, dj, b) pour s > aM, b E {0, 1}
P d ijtb(ai, h) = evt(ai, dN, b) pour h > dN, b E {0, 1}

Sous cette approximation, les équations (2.6) - (2.9) de la programmation dynamique deviennent :

evT(s,h,b) = x*(T,s,b)

eve t (s, h, b) = x*(t,s,b) (2.11)

evh t (s, h, b) = e_r(Etshb[bvt+1(St+1, Ht+2, 0)] + Etshb[bvt+1(St+1, Ht+2, 1)]) evt(s,h,b) = max{eve t (s,h,b), evh t (s,h,b)}

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