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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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Chapitre 2

Programmation dynamique sous le

modèle GARCH

Les modèles de la famille GARCH ont été présentés, en premier lieu, par Bollerslev en 1986 et depuis ont eu un énorme succès dans la description de la variation de la volatilité dans le temps. En 1995, Duan a proposé un modèle d'évaluation d'options dans lequel la dynamique du sous-jacent est décrite par un processus GARCH à temps discret et avec innovations gaussiennes. Nous présentons dans cette section le modèle développé par Duan, la formulation de la programmation dynamique pour évaluer les options à barrière ainsi que les approximations polynomiales associées.

2.1 Le modèle GARCH pour l'évaluation des options

2.1.1 Le modèle général

On considère une économie à temps discret où l'intervalle de temps [t, t + 1] constitue "un jour" sans perte de généralités. La dynamique du sous-jacent et de sa volatilité conditionnelle sous la loi de probabilité physique P est donnée par :

St+1 lnSt

1 p = r + t+1 - 2Ht+1 + Ht+1"t+1

Ht+1 = g(Ht,$t) (2.1)

"t+1 j Ft ~ N (0, 1),

P

2.1. LE MODÈLE GARCH POUR L'ÉVALUATION DES OPTIONS

où St est le cours du sous-jacent à la date t, r le taux d'intérêt sans risque pour une période, Ht+1 sa variance conditionnelle et €t+1, conditionné aux informations Ft à la date t, est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance nulle et de variance égale à l'unité. t+1 est une prime de risque.

La fonction g est une fonction spécifique à un modèle GARCH bien déterminé. On rappelle ici qu'on utilise des spécifications GARCH au premier ordre (seulement une période de décalage). Dans nos résultats numériques, on va présenter les deux types GARCH suivants:

Le NGARCH(1,1) (non-linear asymmetric GARCH):

p

t+1 = À Ht+1 (2.2)

Ht+1 = /0 + /1Ht + /2Ht("t -- 0)2,

le HNGARCH(1,1) (Heston & Nandi GARCH) proposé par Heston et Nandi (2000) :

1

t+1 = (À+ 2)Ht+1 (2.3)

p

Ht+1 = /0 + /1Ht + /2("t -- 0 Ht)2,

où À est une prime de risque et /0 > 0, /1 ~ 0, /2 ~ 0 et 0 sont des paramètres réels qui satisfont des conditions de stationnarité du modèle.

A part ces deux modèles GARCH, une multitude d'autres modèles GARCH(1,1) peuvent être utilisés. On présente dans le tableau suivant la fonction g des différents modèles les plus utilisés dans les marchés financiers.

TAB. 2.1: Exemples de modèles GARCH

AGARCH

Ht+1 = /0+ /1Ht + /2(Et + 0)2

VGARCH

 

Ht+1 = /+ /1Ht + /2( "t/ + 0)2

0

t

EGARCH

ln(Ht+1) = /0 + / 1 ln(Ht) + /2( "t -- 0"t)

GJR-GARCH

Ht+1 = /0+ /1H t +/2"2 t+ /3H t max(--"t, 0)

2.1.2 Le modèle de Duan (1995)

En 1995, Duan a montré qu'il pouvait écrire les équations du système (2.1) avec une autre loi de probabilité Q en effectuant le changement de variable Et = €t + ~tpHt :Ainsi, la dynamique du sous-jacent devient :

st+1 lnSt

= r-

1

2

\/Ht+1 + Ht+1Et+1

Ht+1 = g(Ht,Et) (2.4)

Q

Et+1 j Ft ~ N (0, 1),

La loi de probabilité Q est connue sous le nom de loi de probabilité risque-neutre. le terme d'erreur Et constitue bien une variable aléatoire gaussienne sous la loi Q.

Sous cette mesure de probabilité, il a été prouvé que la dynamique des prix est localement une Q-martingale. Ainsi, le modèle GARCH décrit par les équations (2.4) est un modèle efficace pour décrire un marché efficient et complet où la possibilité d'arbitrage est impossible. En effet, dans une économie où tous les agents sont neutres face au risque, les investisseurs n'exigent aucune compensation pour le risque; la rentabilité attendue de tous les actifs est alors égale au taux sans risque. Ainsi, en utilisant la probabilité Q, nous nous plaçons dans une telle économie, appelée "univers risque-neutre".

Ainsi, considèrons une option dont la valeur à la date T est le gain XT. Il s'en suit que cette option peut être évaluée à n'importe quelle date t comme l'espérance mathémathique du gain qu'elle engendre à l'échéance, actualisée au taux sans rique. La formule s'écrit comme suit :

vt(s, h) = EQ[e_r(T_t)XtjSt = s et Ht+1 = h] (2.5)

~ Etsh[e_r(T_t)Xt]

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