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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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1.3.3 Simulation Monte Carlo

Les méthodes Monte-Carlo

Les méthodes Monte Carlo visent à calculer une valeur numérique en utilisant des techniques probabilistes. Généralement ces méthodes sont utilisées pour calculer des intégrales en dimensions plus grandes que 1. En finance, le recours à ces méthodes permettent de calculer les prix des options sur le marché.

Plus précisément, la simulation Monte-Carlo a pour objet l'estimation de valeurs espérées (moyennes) de la forme:

Y = E[Y]

= E[P(X1,...,Xd)]

= XN1 ::: XNd P(xn1; :::; xnd) f(xn1, ::., xnd) ou

n1 =1 nd=1

Z Z

::: P(x1; :::; xd) f(x1; :::; xd)dx1:::dxd;

R R

selon la nature discrète ou continue de l'expérience.

Dans le système précédent, on définit Y comme un paramètre de performance d'un système stochastique de dimension d caractérisé par:

* un output aléatoire Y;

* des inputs aléatoires X1, ..., Xd avec une densité jointe f : Wd --p W+;

* une fonction de production P : Wd . W.

Ainsi, la simulation Monte-Carlo consiste à simuler de manière indépendante N fois les inputs (X1N, ..., XdN) et à calculer à chaque fois l'output correspondant YN = P(X1N, ..., XdN). N est appelé le nombre de trajectoires de la simulation. Enfin, on obtient un échantillon d'outputs Y1, ..., YN iid de taille N.

L'estimation de Y par l'estimateur de Monte-Carlo de taille N s'écrit :

XN Yn

n=1

1

YN= N

=

1
N

XN
n=1

P(X1n,...,Xdn)

L'estimateur Monte-Carlo est convergent vers sa cible en probabilité presque sûrement et en distribution du moment qu'on est capable de produire des échantillons Y1, ..., YN i.i.d.

Cette convergence est assurée par les deux théorèmes suivants :

Théorème 1 (Loi des grands nombres)

Soit (Yn)n>1 une suite de variables aléatoires réelles intégrables i.i.d de même loi que Y,

alors : 1 N

PN
n=1

Yn -!

N--*oo

E[Y] p.s dans L1. Si de plus, les (Yn) sont de carré intégrable, on peut

1

YN=N

XN
n=1

Y n et N =

tu u v

1
N-1

XN
n=1

(YN - YN)2

montrer que la convergence se fait dans L2.

Théorème 2 (Théorème de la limite centrale)

Soit (Yn)n>1 une suite de variables aléatoires réelles i.i.d de carré intégrable de même loi que Y. On suppose que Var(Y) > 0 et on pose

Alors

p \ YN -- E[Y ] J

N N!oo N (0, 1) en loi.

!

0N

Bien que la méthode de simulation de Monte Carlo est une technique très utilisée dans l'évaluation des options, elle présente quelques inconvénients qui sont principalement :

- une erreur de discrétisation donnée par E[P(X1n, ..., Xdn)] -- E[P(X1, ..., Xd)];

- une erreur statistique dite erreur de Monte-Carlo donnée par 1 N PN Yn -- E[Y ];

n=1

- une vitesse de convergence assez faible (de l'ordre de p~N N , N > 0).

Compte tenu de ces erreurs, on propose pour la méthode de simulation un intervalle de confiance à 95% autour de la valeur moyenne YN. Cet intervalle s'écrit sous la forme suivante:

[ ]

YN -- 1:96 N

I95% = p N , YN + 1:96 N

p

N

Transformation inverse

On prend l'exemple du modèle NGARCH(1,1) qui s'écrit comme suit:

St+1 lnSt

= r--

1

2

\/Ht+1 + Ht+1Et+1

Ht+1 = /30+/1Ht+/2Ht(Et--À--O)2, (1.3)

Q

Et+1 j Ft ~ N (0, 1),

Pour évaluer l'option à la date t 2 [0, T], il faut connaître les variables St et Ht+1. Comme le montre l'équation (1.3), ces deux variables dépendent de Et qui est une variable aléatoire gaussienne sous la loi de probabilité risque neutre Q.

Le principe de la simulation Monte Carlo consiste à simuler plusieurs valeurs Et et Et+1 et par suite calculer St et Ht+1. Ceci est possible puisque on connait la fonction inverse de la fonction de distribution de la loi normale. En effet, dire que Et suit la loi normale F, revient à dire qu'il existe une uniforme U sur [0, 1) tel que Et = F ~1(U).

Ceci est justifié par le théorème suivant :

Théorème 3 Soient F la fonction cumulative d'une distribution continue D, F ~1 son inverse et U une uniforme sur [0, 1). On a alors :

F1(U) r D.

Ainsi, pour simuler un échantillon de E1, ..., ET i.i.d selon la loi normale, on doit générer un échantillon U1, ..., UT i.i.d uniforme sur [0, 1) et puis le transformer par F ~1. Il faut souligner que l'échantillon F ~1(U1), ..., F ~1(UT) a la même structure de distribution que l'échantillon E1,...,ET.

Cette méthode appellée transformation inverse est bien appréciée comme méthode de simulation d'inputs car elle relie un input à une uniforme --[0, 1) par une relation monotone.

1.3.4 Programmation dynamique

Définition 4 La programmation dynamique est une méthode de résolution qui détermine la valeur optimale d'un problème de décision selon le principe d'optimalité de Bellman: «toute politique optimale est décomposée en sous-politiques optimales».

Le programme dynamique utilisé dans notre travail comporte deux caractéristiques spécifiques :

1. Le modèle GARCH. En effet, contrairement aux autres méthodes de tarification proposées, la volatilité du prix de l'actif sous-jacent n'est pas considérée constante et suit le processus GARCH.

2. Des approximations polynomiales. En effet, il n'est pas possible d'exprimer la valeur de l'option sous forme fermée. Donc on a eu recours à des approximations polynomiales d'ordre 1 et 2.

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