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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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3.4 Résultats de l'approximation bilinéaire

A l'aide de l'approximation bilinéaire, nous pouvons calculer la valeur d'une option à barrière dans tous les modèles GARCH(1,1). Dans cette section, nous présentons les résultats dans le modèle HNGARCH présenté par les équations (2.3). Les paramètres du modèle HNGARCH sont : 0 = 0.000005, /31 = 0.6, /2 = 0.0000015, 0 = 400, À = 0.2.

Les paramètres de l'option à barrière sont : r = 0.05 (annuel), T = 30 jours et H1 = 6.16 x 10-5. On assume le nombre de jours par année = 365.

TAB. 3.9: Put Européen Down & Out

Barrière

40

45

 

M x N

Lin - Lin

X2 MXN

Lin - Lin

X2 MXN

CPU (sec)

25 * 25

1.1558

****

0.6242

****

5

51 * 51

0.8077

12117.361

0.5971

73.441

112

71 * 71

0.6731

1811.716

0.5823

21.904

582

101 * 101

0.5708

1046.529

0.5194

395.641

877

131 * 131

0.5117

349.281

0.4604

348.1

2415

141 * 141

0.4944

29.929

0.4522

6.724

3590

151 * 151

0.4823

14.641

0.4431

8.281

4249

171 * 171

0.4765

3.364

0.4401

0.9

7624

 

Prix moyen

0,4724

0,4302

 

Simulation

[0,4467 0,4981]

[0,4010 0,4595]

76

Dans le tableau 3.9 sont présentés les prix obtenus pour un Put européen de type Down & Out. Le prix initial de l'action est S0 = 50 et le prix d'exercicede K = 50 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 40 et 45. Le prix moyen donné dans ce tableau est celui de la simulation. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation linéaire-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

Comme le montre ce tableau, on constate un CPU très élevé pour le calcul des prix théoriques avec l'approximation bilinéaire. Ceci s'explique par le fait que le nombre d'opérations a augmenté à cause du changement de l'espace d'états de la fonction valeur de l'option. En effet, pour l'approximation quadratique-linéaire, la fonction valeur v dépend uniquement de deux variables d'états St et Ht+1. Par contre, pour l'approximation bilinéaire, la fonction

valeur w dépend de trois variables d'états qui sontSt~1, St et Ht.

FIG. 3.1: Convergence du prix d'un Put Down & Out à l'aide de la programmation
dynamique

TAB. 3.10: Call Européen Up & Out

Barrière

115

125

 

M x N

Lin - Lin

X2 MXN

Lin - Lin

X2 MXN

CPU (sec)

25 * 25

7.4140

****

9.8502

****

5

51 * 51

6.4376

95335.696

9.1966

42719.3

105

71 * 71

6.3473

815.409

8.7448

20412.3

442

101 * 101

5.9733

13987.6

8.1111

40157.6

1058

131 * 131

5.7860

3508.129

7.5244

34421.7

3016

141 * 141

5.6234

2643.876

7.2451

7800.85

4385

151 * 151

5.5841

154.449

7.1570

776.161

5481

171 * 171

5.5732

11.881

7.1249

103.041

8451

 

Prix moyen

5.5659

7.1319

 

Simulation

[5.5403 5.5915]

[7.0996 7.1642]

77

Dans le tableau 3.10 sont présentés les prix obtenus pour un Call européen de type Up & Out. Le prix initial de l'action est 80 = 110 et le prix d'exercice est K = 100 jours. On évalue cette option pour deux valeurs de barrières 115 et 125: Le prix moyen donné dans ce tableau est celui de la simulation. Les CPU sont calculés en secondes et sont ceux de l'approximation linéaire-linéaire. Le dernier représente le temps de calcul de la simulation.

FIG. 3.2: Convergence du prix d'un Call Up & Out à l'aide de la programmation dynamique

Comme la fonction valeur d'une option en général est une fonction convexe, il est évident qu'une approximation linéaire va être moins efficace qu'une fonction quadratique. En effet, comme le montrent les deux tableaux précédents, on doit augmenter d'avantage la discrétisation pour atteindre la convergence. Ceci va engendrer un coût supplémentaire pour la mémoire de la machine et du temps de calcul.

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