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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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Chapitre 1

Les options

Ce chapitre regroupe les notions élémentaires en mathémathiques et en finance qui aident à la compréhension de ce rapport.

1.1 Définition et caractéristiques des options

1.1.1 Définition

Options vanilles

Une option financière est un produit dérivé qui donne le droit, et non l'obligation : * d'acheter (option d'achat, appelée aussi call)

* ou de vendre (option de vente, appelée aussi put)

une quantité donnée d'un actif financier (action, obligation, indice boursier, devise, matière première, autre produit dérivé, etc.), appelé actif sous-jacent

* à un prix précisé à l'avance K (prix d'exercice ou strike en anglais),

* à une date d'échéance donnée T (option dite européenne)

* ou durant toute la période jusqu'à échéance (option dite américaine).

Ce droit lui-même se négocie, sur un marché d'options spécialisé (géré par une bourse, ou au gré à gré), contre un certain prix, appelé prime.

Une option est dite dans la monnaie (in the money) lorsque son exercice procure un gain à son détenteur. Elle est dite hors de la monnaie (out of the money) dans le cas contraire. Enfin, si l'acheteur est indifférent, l'option est à la monnaie (at the money).

Options à barrière

Les options à barrière sont des options qui peuvent être activées ou désactivées (c'est-à-dire créées ou annulées) par le passage du prix de l'actif sous-jacent au-dessus ou en-dessous d'une valeur limite (la barrière). Ceci permet de réduire le risque du vendeur et donc le prix pour l'acheteur puisqu'elle ne produit ses effets que dans un ensemble plus limité de situations. Les options à barrière diffèrent selon si elles sont avec activation ou désactivation, par franchissement à la hausse ou à la baisse de la barrière. Ainsi, on classifie les options à barrière comme suit :

* l'option down : l'option est désactivée ou activée lorsque le cours de l'actif sous-jacent franchit la barrière à la baisse;

* l'option up : l'option est désactivée ou activée lorsque le cours de l'actif sous-jacent franchit la barrière à la hausse.

De même, pour distinguer entre les options à barrière activantes et désactivantes, on définit les deux types suivants :

* l'option à barrière activante (knock-in option) : pendant la durée de vie de l'option, celle-ci n'est active que si elle atteint la barrière, et, dans ce cas, à l'échéance sa valeur est la même qu'une option standard. En revanche elle coûte moins cher qu'une option vanille puisque la probabilité de perte du vendeur est moindre que dans le cas d'une option vanille;

* l'option à barrière désactivante (knock-out option) : pendant la durée de vie de l'option, celle-ci reste active si la barrière n'est pas atteinte. L'option à barrière est désactivée lorsque l'actif sous-jacent franchit la barrière.

Ainsi, on peut compter 8 types d'options à barrière selon qu'elle soit d'achat ou de vente, avec activation ou désactivation, par franchissement à la hausse ou à la baisse de la barrière. Les deux figures qui suivent représentent deux types de ces options.

FIG. 1.1: Options à barrière Down & Out

FIG. 1.2: Options à barrière Up & In

Ces deux figures représentent la variation du prix du sous-jacent durant la durée de vie de l'option. La figure 1.1 représente deux options de type Down & Out. Pour la première option, le prix du sous-jacent n'as jamais touché la barrière. Ainsi, la valeur de l'option à barrière 1 est la même qu'une option vanille. Pour la deuxième option, le prix du sous jacent a touché la barrière à la date Tf. Ainsi, la valeur de cette option est nulle.

La figure 1.2 représente deux options de type Up & In. Le prix du sous-jacent pour l'option 1 a touché la barrière à la hausse à la date Tf. Donc, la valeur de cette option devient égale à une option vanille. Pour l'option 2, sa valeur reste nulle puisque le prix de l'actif sous-jacent reste toujours inférieur à la barrière tout au long de la durée de vie de l'option.

1.1.2 Fonction de gain (Payoff)

On considère une option sur un seul type de sous-jacent (actions, taux de change, taux d'intérêts) de maturité T (en jours). On note son processus de gain {Xt, pour t E I} où I est l'ensemble d'observations dans [0, T] quand l'exercice de l'option est permis.

Option vanille

Le processus de gain d'une option vanille est généralement caractérisé par une fonction de gain x : I x [0, oo) --> IR, tel que Xt = x(t, s) pour t E I et s= St.

Ainsi, pour une option d'achat (Call) de type américain de maturité T et de strike K, la fonction de gain s'écrit :

x(t, s) = max(s -- K, 0), Vt E [0, T]

De même, pour une option de vente (Put) de type américain, la fonction de gain est définie par :

x(t, s) = max(K -- s, 0), Vt E [0, T]

Option à barrière

Pour évaluer les options à barrières sur [0,t], il faut vérifier à chaque date t E [0, T] si le prix du sous-jacent St a franchi la barrière ou non. Pour vérifier cette condition, on définit une variable binaire Bt qui prend deux valeurs possibles :

Bt = 1 si la barrière a été franchie sur [0,t]

Bt = 0 sinon

On note le processus de gain d'une option à barrière x* : I x [0, oo) x {0, 1} --> IR, tel que Xt = x*(t, s, b) pour t E I, s = St et b = Bt. Ainsi, on a :

x*(t, s, b) =

{ x(t, s) si l'option est activée } 0 sinon

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