Chapitre 1
Les options
Ce chapitre regroupe les notions élémentaires en
mathémathiques et en finance qui aident à la compréhension
de ce rapport.
1.1 Définition et caractéristiques des
options
1.1.1 Définition
Options vanilles
Une option financière est un produit dérivé
qui donne le droit, et non l'obligation : * d'acheter (option d'achat,
appelée aussi call)
* ou de vendre (option de vente, appelée aussi put)
une quantité donnée d'un actif financier (action,
obligation, indice boursier, devise, matière première, autre
produit dérivé, etc.), appelé actif sous-jacent
* à un prix précisé à l'avance K
(prix d'exercice ou strike en anglais),
* à une date d'échéance donnée T
(option dite européenne)
* ou durant toute la période jusqu'à
échéance (option dite américaine).
Ce droit lui-même se négocie, sur un marché
d'options spécialisé (géré par une bourse, ou au
gré à gré), contre un certain prix, appelé
prime.
Une option est dite dans la monnaie (in the money) lorsque son
exercice procure un gain à son détenteur. Elle est dite hors de
la monnaie (out of the money) dans le cas contraire. Enfin, si l'acheteur est
indifférent, l'option est à la monnaie (at the money).
Options à barrière
Les options à barrière sont des options qui
peuvent être activées ou désactivées
(c'est-à-dire créées ou annulées) par le passage du
prix de l'actif sous-jacent au-dessus ou en-dessous d'une valeur limite (la
barrière). Ceci permet de réduire le risque du vendeur et donc le
prix pour l'acheteur puisqu'elle ne produit ses effets que dans un ensemble
plus limité de situations. Les options à barrière
diffèrent selon si elles sont avec activation ou désactivation,
par franchissement à la hausse ou à la baisse de la
barrière. Ainsi, on classifie les options à barrière comme
suit :
* l'option down : l'option est désactivée ou
activée lorsque le cours de l'actif sous-jacent franchit la
barrière à la baisse;
* l'option up : l'option est désactivée ou
activée lorsque le cours de l'actif sous-jacent franchit la
barrière à la hausse.
De même, pour distinguer entre les options à
barrière activantes et désactivantes, on définit les deux
types suivants :
* l'option à barrière activante (knock-in
option) : pendant la durée de vie de l'option, celle-ci n'est active que
si elle atteint la barrière, et, dans ce cas, à
l'échéance sa valeur est la même qu'une option standard. En
revanche elle coûte moins cher qu'une option vanille puisque la
probabilité de perte du vendeur est moindre que dans le cas d'une option
vanille;
* l'option à barrière désactivante
(knock-out option) : pendant la durée de vie de l'option, celle-ci reste
active si la barrière n'est pas atteinte. L'option à
barrière est désactivée lorsque l'actif sous-jacent
franchit la barrière.
Ainsi, on peut compter 8 types d'options à
barrière selon qu'elle soit d'achat ou de vente, avec activation ou
désactivation, par franchissement à la hausse ou à la
baisse de la barrière. Les deux figures qui suivent représentent
deux types de ces options.
FIG. 1.1: Options à barrière Down & Out
FIG. 1.2: Options à barrière Up & In
Ces deux figures représentent la variation du prix du
sous-jacent durant la durée de vie de l'option. La figure 1.1
représente deux options de type Down & Out. Pour la première
option, le prix du sous-jacent n'as jamais touché la barrière.
Ainsi, la valeur de l'option à barrière 1 est la même
qu'une option vanille. Pour la deuxième option, le prix du sous jacent a
touché la barrière à la date Tf. Ainsi, la valeur de cette
option est nulle.
La figure 1.2 représente deux options de type Up &
In. Le prix du sous-jacent pour l'option 1 a touché la barrière
à la hausse à la date Tf. Donc, la valeur de cette option devient
égale à une option vanille. Pour l'option 2, sa valeur reste
nulle puisque le prix de l'actif sous-jacent reste toujours inférieur
à la barrière tout au long de la durée de vie de
l'option.
1.1.2 Fonction de gain (Payoff)
On considère une option sur un seul type de sous-jacent
(actions, taux de change, taux d'intérêts) de maturité T
(en jours). On note son processus de gain {Xt, pour t E I} où I est
l'ensemble d'observations dans [0, T] quand l'exercice de l'option est
permis.
Option vanille
Le processus de gain d'une option vanille est
généralement caractérisé par une fonction de gain x
: I x [0, oo) --> IR, tel que Xt = x(t, s) pour t E I et s= St.
Ainsi, pour une option d'achat (Call) de type américain de
maturité T et de strike K, la fonction de gain s'écrit :
x(t, s) = max(s -- K, 0), Vt E [0, T]
De même, pour une option de vente (Put) de type
américain, la fonction de gain est définie par :
x(t, s) = max(K -- s, 0), Vt E [0, T]
Option à barrière
Pour évaluer les options à barrières sur
[0,t], il faut vérifier à chaque date t E [0, T] si le prix du
sous-jacent St a franchi la barrière ou non. Pour vérifier cette
condition, on définit une variable binaire Bt qui prend deux valeurs
possibles :
Bt = 1 si la barrière a été franchie sur
[0,t]
Bt = 0 sinon
On note le processus de gain d'une option à
barrière x* : I x [0, oo) x {0, 1} --> IR, tel que Xt =
x*(t, s, b) pour t E I, s = St et b = Bt. Ainsi, on a :
x*(t, s, b) =
{ x(t, s) si l'option est activée } 0 sinon
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