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Evaluation des options à barrière dans le modèle GARCH

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par Mohamed Salah BEN KHELIL
Ecole Polytechnique de Tunisie - Ingénieur Polytechnicien 2008
  

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1.2 Hypothèses

1.2.1 Marché parfait

Les marchés financiers sont les marchés où sont effectuées les transactions sur des actifs financiers et, de plus en plus, leurs produits dérivés. Pour prédire le fonctionnement de ces marchés, plusieurs modèles ont été établis afin d'aider à leur compréhension. Les modèles des marchés sont nombreux dans la littérature et ils se basent généralement tous sur les mêmes hypothèses.

Hypothèse de non arbitrage

L'arbitrage est une combinaison de plusieurs opérations permettant de réaliser un bénéfice sans risque en tirant parti de la différence entre le prix de marché et le prix d'équilibre.

Définition 1 Un portefeuille autofinançant est une stratégie d'achat ou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits dérivés, dont la valeur n'est pas modifiée par l'ajout ou le retrait d'argent. On notera X la valeur en t du portefeuille X.

Définition 2 Un arbitrage sur la période [0, T] est un portefeuille autofinançant X de valeur
nulle en t = 0 dont le rendement XT en T est positif avec une probabilité strictement positive.

X0=0, XT>0 et P(XT>0)>0

Pour les modèles des marchés financiers, on suppose l'hypothèse d'absence d'opportunités d'arbitrage qui signifie que "On ne peut gagner d'argent sans risque et sans capital initial". Cette hypothèse est justifiée par l'existence d'arbitragistes, acteurs sur les marchés dont le rôle est de détecter ce type d'opportunités et d'en profiter. En effet, ceux-ci créent une force qui tend à faire évoluer le prix de l'actif vers son prix d'équilibre.

Hypothèse de complétude des marchés

Cette hypothèse stipule que tout flux à venir peut être répliqué exactement, quel que soit l'état du monde, par un portefeuille d'autres actifs bien choisis.

Probabilité martingale

Une des conséquences des hypothèses de non arbitrage et de complétude des marchés est l'existence et l'unicité à équivalence près d'une mesure de probabilité dite probabilité martingale ou « probabilité risque-neutre » telle que le processus de prix des actifs ayant une source de risque commune est une martingale sous cette probabilité. Cette probabilité peut s'interprêter comme celle qui régirait le processus de prix des sous-jacents de ces actifs si l'espérance du taux de rendement de ceux-ci était le taux d'intérêt sans risque (d'où le terme risque-neutre : aucune prime n'est attribuée à la prise de risque).

1.2.2 Martingale

Un processus stochastique (ou processus aléatoire) représente une évolution, généralement dans le temps, d'une variable aléatoire. En calcul stochastique, une martingale désigne un type de processus stochastique. Ce type de processus X est tel que sa valeur espérée connaissant l'information disponible à une certaine date s, dénotée F5, est la valeur à cette même date.

Définition 3 On se donne un espace de probabilité (~, F, P) muni d'une filtration (Ft)t. Une famille de variables aléatoires (Xt)t~0 est une martingale par rapport à la filtration Ft si:

- Xt est Ft-mesurable et intégrable pour tout t. -E(Xt j F5)=X5, Vs ~ t.

1.2.3 GARCH volatilité

Dans cette partie, on introduit les modèles GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) utilisés dans la modélisation des séries financières. Les modèles linéaires de séries temporelles se révèlent incapables de représenter certaines propriétés caractéristiques des séries financières. Les modèles GARCH, introduits par Bollerslev en 1986, sont particulièrement adaptés à la prise en compte de ces propriétés, ce qui explique leur fort impact dans les littératures économique, financière et économétrique. Ils reposent sur une spécification de la variance conditionnelle du rendement.

Présentation du modèle

L'écriture du modèle GARCH porte sur la variance conditionnelle du processus considéré. Soit
un processus yt, d'espérance E(yt) = 0, satisfaisant une représentation de type GARCH(p,q).

Ce processus s'écrit sous la forme suivante :

yt = c+ "t

/

"t = zt ht (1.1)

ht = ~0 + X q ai"2 t_i + X p ~iht_i

i=1 i=1

zt = iidN(0,1)

où zt désigne un bruit blanc faible homoscédastique tel que E(zt) = 0 et Var(zt) = 1 et où les paramètres, ai, [3i sont des réels. De façon usuelle, la quantité ht désigne la variance conditionnelle du processus yt telle que V(ytjyt_1) = V("tj€t_1) = ht où yt_1 désigne l'ensemble des valeurs passées {yt_1, . . . , y0 }. Afin de garantir la positivité de la variance conditionnelle, on suppose que a0 >0 ,ai ~ 0, i = 1,..,q, i ~ 0, i = 1,..,p.

Estimation des paramètres

Les paramètres du modèle GARCH peuvent être estimés selon différentes méthodes : maximum de vraisemblance, pseudo maximum de vraisemblance, méthode des moments, etc. Les méthodes généralement retenues sont celles du maximum de vraisemblance (MV) ou du pseudo maximum de vraisemblance (PMV). L'avantage du PMV réside dans le fait que l'estimateur obtenu converge malgré une mauvaise spécification (supposée normale) de la distribution conditionnelle des résidus, à condition que la loi spécifiée appartienne à la famille des lois exponentielles. Ainsi, l'estimateur du MV obtenu sous l'hypothèse de normalité des résidus et l'estimateur du PMV sont identiques, seules leurs lois asymptotiques respectives diffèrent. Toutefois dans les deux cas (MV ou PMV), sous les hypothèses standards, l'estimateur est asymptotiquement convergent et asymptotiquement normal.

Dans notre travail, nous utilisons un modèle GARCH(1,1) pour l'évaluation des options. En effet, ce modèle est le plus utilisé en pratique et ses paramètres sont faciles à estimer.

Considérons le cas du modèle GARCH(1,1) donné par les équations suivantes :

yt = c+et

/

et = zt ht (1.2)

ht = ~0 + ~1e2 t1 + ~1ht~1

zt = iidN(0,1)

La fonction de log-vraisemblance associée à un échantillon de T observations {y1, .., yT g obtenue sous l'hypothèse de normalité de la loi conditionnelle de yt sachant son propre passé s'écrit :

T

T 1 X

logL(0) = --2 log(2ir) -

2

t=1

XT

1

log(ht(0)) -

2

t=1

[yt - mt(0)]2 ht(0) ,

où 0 désigne l'ensemble des paramètres du modèle, mt(0) désigne l'espérance conditionnelle et ht(0) désigne la variance conditionnelle. Dans le cas du modèle GARCH( 1,1) présenté ci -dessus, ces variables sont :

mt(0) = c

ht(0) = ~0 + ~1e2 t1 + ~1ht~1:

Les estimateurs du maximum de vraisemblance sont alors obtenus par résolution analytique d'un système de K = p + q + 2 (nombre de paramètres à estimer) équations non linéaires :

OlogL(0)

00 j~=b~ = 0

002 j~=b~ < 0

02 log L(0)

Dans le cas général du PMV, l'estimateur du PMV est asymptotiquement convergent et normal.

pT (b0 --0) - d

T--oo

N(0, J1IJ),

avec

F ~

_ 82 log L(0)

J = E0 8080'

,

F8logL(0) ~

8logL(0)

I = E0 80 80'

Ooù E0 désigne l'espérance prise par rapport à la vraie loi. Si la vraie distribution des erreurs est une loi normale (cas du MV) alors I = J.

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9Impact, le film from Onalukusu Luambo on Vimeo.