Prévision de la consommation du gaz naturel pour la distribution publique par la méthode traditionnelle, lissage exponentiel et Box & Jenkins

2.3.4.3.2 Le coefficient de détermination1 :

Les coefficients de détermination (R² normal ou R² corrigé) des modèles estimés sont :

n

~

2

E_t

?

R

2= 1-t=1

n

?

gt - X)^2

t

=

1

n

?

2 n - 1 t=1

n

n-P-4_?

R

=

1

gt - X)²

E²

t

( E~t = résidu d'estimation)

t

=

1

On utilise de préférence le R² puisqu'il permet de prendre en compte le nombre de variables explicatives, c'est à dire les p termes retardés de l'AR et les q retards de la composante MA. Bien entendu ces coefficients sont proches de 1 lorsque l'ajustement du modèle aux données

n

est parfaite, c'est à dire si Ee tend vers 0. La significativité de coefficient de détermination

t= 1

est testée à l'aide d'une statistique de Fisher classique

2.3.4.3.3 Les tests sur les résidus :

Le processus estimé est bien évidemment de bonne qualité si la chronique calculée suit les évolutions de la chronique empirique. Les résidus entre les valeurs observées et les valeurs calculées par le modèle, doivent donc se comporter comme un bruit blanc normal. Les résidus estimés sont notés : E~t

1

Régis Bourbonnais, Michel Terraza, Analyse des séries temporelles, Edition DUNOD, 2004, P 230

Tests de recherche d'autocorrélation¹ :

Si les résidus obéissent à un bruit blanc, il ne doit pas exister d'autocorrelation dans la série. Les tests suivant peuvent être utilisés :

a) Le test de Box et Pierce :

K

Il est établi à partir de la statistique Q = n> ~ k (êt) qui est en fonction de la somme des carrés

1

=

k

???????

HO
· = p2 =...= pK = O
·

des autocorrélations bk² g ) de la ACF et du nombre d'observations n. Il permet de vérifier L'hypothèse :

H1 existe au moins unpi

1 i

"1

significativement différent de O.

Cette statistique Q en l'absence d'autocorrélation obéit à un x² à (v = K-(p+ q)) degrés de

liberté ou p est l'ordre de la partie autorégressive et q est l'ordre de la partie moyenne mobile, et K est el nombre de retards choisis pour calculer les autocorrélations.

Pour effectuer ce test, il est conseiller de choisir K proche du tiers du nombre d'observations. L'hypothèse H0 est rejetée au seuil de 5 % si Q est supérieur au quantile de 0.95 de la loi du x² .

b) Le test de Ljung et Box :

La statistique de Ljung et Box est donnée par :

k

~=n

(n+2)

Tests de normalité :

K

? agi)

n - k

1

Le test se déroule de manière identique à celui de Box et Pierce.

Dans la cas d'un résidu hétéroscédastique, il convient d'utiliser la statistique de Box-Pierce corrigée Q'.

a) Les tests du Skewness et de Kurtosis :

Soit Pk = 1 (Xi X)^k le moment d'ordre k, le coefficient de Skewness ( ^/2) est égal à :

i

(3/2 P3 = 3/2 P2

et le coefficient du Kurtosis (32 = P42 P 2

.

1

Régis Bourbonnais, Michel Terraza, Analyse des séries temporelles, Edition DUNOD, 2004

Si la distribution est normale et le nombre d'observation grand :

0i^/2 ?

Et

N(0; n6 )

24

02 ? N(3; )

n

On construit alors les statistiques :

_0:/ 2 - 1

6

n

0 02 - 3

et v₂=

v1

=

24

n

que l'on compare à 1.96 au seuil de 5 %.

Si les hypothèse H0 : v1 = 0 (symétrie) et v2 = 0 (aplatissement normal) sont vérifiées alors v1 -1.96 et v2 -1.96 ce qui veut dire que l'hypothèse de normalité est vérifiée, dans le cas contraire, l'hypothèse de normalité est rejetée.

b) Le test de Jarque et Bera¹ :

Il s'agit d'un test qui regroupe les résultats précédents, si e² et 02 obéissent à des lois

normales alors la quantité S :

n n (02 S = 6 0₁^1/2 + 24 - 3)² suit un e_a (2) à 2 degrés de liberté.

Donc si S = e_a (2) , on rejette l'hypothèse H0 de normalité des résidus au seuil a .