Chapitre 3
Applications
On pourra considérer ensuite quelques unes des nombreuses
applications de tous ces théorèmes en commençant par des
résultats classiques :
- Les théorèmes de Cauchy-Lipschitz et de
Cauchy-Peano.
- Le théorème d'inversion locale.
- Le théorème de Perron-Frobenius.
- Les théorèmes de Lax-Milgram et Stampacchia. On
pourra ensuite aller, selon le gout du/des étudiant(s), vers des
applications plus avancées, comme par exemple :
- Le théorème de Jordan sur les courbes simples
fermées du plan.
- Le théorème de Hartman-Grobmann, qui permet de
décrire le comportement qualitatif des trajectoires d'un système
différentiel (ou même d'un système dynamique discret) au
voisinage de certains points d'équilibre.
- Le théorème de la variété centrale,
qui permet notamment de comprendre le comportement des systèmes
différentiels pour les quels le théorème de
Hartmann-Grobman ne peut pas s'appliquer.
- Des résultats d'existence de solutions pour certaines
équations aux dérivées partielles non-linéaires,
dans un domaine borné avec la condition au bord u = 0 sur 9 et sous de
bonnes hypothèses sur la fonction de teste.
- Le théorème de Nash en théorie des
jeux.Les outils de base utilisés dans ce travail seront notamment ceux
de l'analyse réelle standard et de l'analyse fonctionnelle.
3.1 Théorème de point fixe et EDPs
nonlineaire
Dans cette section, nous étudions l'application du point
fixe dans une famille de problèmes d'évolutions de type
hyperbolique suivantes :
|
8
<>>>>
>>>>:
|
utt -- + g(ut) = f(u), x E 1,t > 0.
u (0, x) = uo(x), x E ~
ut (0, x) = ui(x), x E S2
u (t, x) = 0, x E P, t > 0.
|
(P)
|
|
oft S2 c Rn est un domaine de frontière
assez régulière F, g(v) = lvlm-1 v, f(u) =
lulp-1 u avec p > 1, m > 1 et A le Laplacien dans
Rn. Pour p > 1 le terme f(u) représente une source non
linéaire de type polynomial, la fonction g(ut) est une dissipation
nonlinéaire pour m > 1.
l'insuffisance de régularité des g(ut) et f(u)
nonlinéaires ne permet pas l'utilisation des résultats connus
d'existence. En plus, il est connu que la présence du terme
nonlinéaire au source, nous donne des valeurs négatives dans la
fonction de l'énergie de la solution du problème, pour cette
raison, on fixe u dans un espace fonctionnelle convenable, et on va demontrer
que le problème (P') admet une solution. Après, en
passant au notre problème initiale (P) en utilisant le
théorème du point fixe. Nous nous contentons, dans ce contexte de
déterminer l'utilisation du théorème du point fixe pour
trouver la solution.
On peut écrire (P) sous la forme
8
<> >
>>:
aU
at
AU + g(U) = f(U)
!
(Q)
U(0, x) = u°
U1
0 I u ul 0 0
oft A =
A 0 ) U ut u2 u2 lu2lm-1 u2 u1 lu1lp-1
n
Théorème 3.1.1 On suppose que 1 < p <
n -- 2
solution unique u(x, t) de (Q), telle que.
et uo E H10 (a, ) ui E L2 (a).
Alors, il existe une
|
2 kV (t; :)k2
1 H ~ 2 1 kV (0; :)k2 H +
|
t
I
0
|
(9 (V ) ,17 (s, .))H ds =
|
t
I
0
|
(f (U) ,V (s; :)iH ds. (3.4)
|
u(x,t) E C ([0,1],110 (Q)) ut (x,t) E C
([0,1] , L2 (Q)) ut(x,t) E Lm+1 (10,T[ x ~)
Avant d'aborder la démonstration de ce
théorème, on considère le problème lié au
problème (Q)
suivant, pour u fixé dans C ([0, T] ,
H10 (a)) :
{
av
at
AV + g(V ) = 1(U)
(P')
v(0, x) = ( u0
U1
Pour la preuve du théoreme3.1.1, on montre premierement
qu'il existe une solution V de (P'), pour chaque u 2 C ([0, T]
,110 (a)) dans le théoreme suivant :
Theoreme 3.1.2 Pour tout u(x, t) 2 C ([0, T] , D (a)) , ut (x, t)
2 C ([0, T] , D (a)), il existe une solution unique V(x,t) du probleme
(P'), telle que
V (x,t) 2 C ([0,71] ,110
(a)) Vt (x, t) 2 C ([0, T] , L2 (a)) 14 (x, t) 2
In+1 (]0, T[ x a)
On montre ici l'existence de la solution V du (P')
par la méthode de compacité (Faedo-Galerkin), pour u
fixée. Cependant, ce theme (la méthode et le comportement de la
solution) ne fait pas partie de notre travail
Preuve Pour U 2 C ([0, T] , H), on définit V = 0 (U) ,oil
V est la solution de (P'). Donc 0 : XT --p XT tel que
|
XT = {U 2 C ([0,71], in ,U (0,X) = (
|
(3.1) uu0 1 ) }
|
dans XT. On veut montrer que :
i)0 : BR --> BR .
ii)cb est une contraction dans BR, oft BR est la boule de rayan R
dans XT . Preuve de (i) :
On choisit
{ U 2 BR = U 2 XT, sup MU (t, -)11B- < R} . (3.2)
[0,T]
Alors V = 0 (U) résout le probleme
OV
at
AV + g(V ) = 1(U). (3.3)
En utilisant une étude dans l'analyse fonctionnelle on
trouve
Comme
(g (V ) , V )H =
~(v217121m-1 , v2) L2(1) ~ 0:
on arrive à
|
2 kV (t; :)k2
1 H ~ 2 1 kV (0; :)k2 H ~
|
Zt
0
|
(f (U) , V (s, -))Hlds. (3.5)
|
Avec l'inégalité de Holder
1(./(U),V)R1 C 11011/ (3.6)
D'ofi on obtient l'estimation
kV (t,
·)12H -- (0,
.)12H < C RP Zt I1 (s, ')111-1
;
0
ou C est une constante indépendante de T , R .
D'apres le lemme de Gronwall on a
11V (t, .)11H < C 111/ (0, .)11H + C
RPT :
On peut choisir R grand et T petit de façon à ce
que
|
sup
t E[0,71
|
11V (t, R,
|
|
c'est-à-dire V 2 BRet (i) vérifié.
Preuve de (ii)
on prend U ,U 2 XT et on pose V = q (U) ;
|
V~=c(U) .
|
Alors W = V -V est une solution de l'équation
d W - AW + g (V ) - g (V) = (U)- (U)
dt
:
Il apparait de l'identité de l'énergie ,la
monotonicité de g et l'estimation que
|
11 ct, 11H ~ C
|
Zt
0
|
(1101PC-([01
,7],1.1) 11611PC-([01
,T1,11)) 11U
U x1,in1114I (s, .)11H ds
|
Quand U, U 2 BR, on choisit T petit tel que C
RP-1T < 21 . q est donc
une contraction dans BR. L'application du théoreme du point
fixe implique qu'il existe une solution U deU = q (U) donc C ([0,
71], H) et comme cb (U) 2 YT, on a U 2 YT .
| 
