Chapitre 2 : MODELE DYNAMIQUE
Ce modèle aura pour entrées, les couples C1et C3
appliqués aux roues, et pour sorties les angles de rotation
è1 et è3 des roues.
1.Terminologie
Symboles
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Désignation
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Ec1, Ec2 et Ec3
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Respectivement énergie cinétique de la roue 1,
du châssis avec ses
sous-ensembles (moteurs et bille) et de la roue
3
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EcR=Ec1+Ec2+Ec3
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Energie cinétique totale du robot
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I1 , I2 et
I3
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Respectivement tenseur central d'inertie de la roue 1, du
châssis et de
la roue 3
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Ep1, Ep2 et Ep3
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Respectivement énergie potentielle de la roue 1, du
châssis et de la
roue 3
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EpR=Ep1+Ep2+Ep3
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Energie potentielle totale du robot
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Q1 et Q3
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Respectivement force généralisée
appliquée à la roue 1 et à la roue 3
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? MC
|
Moment cinétique
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?
Mext
|
Moment des forces extérieures
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g=9,81
|
Accélération de la pesanteur
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Tableau 2 : Terminologie du modèle dynamique
2 .Méthode de LAGRANGE
2.1. Expression de l'énergie cinétique
Par le théorème de KOENIG relatif à
l'énergie cinétique, on a :
Ec1 = Energie cinétique de la roue dans son
référentiel barycentrique
|
+
|
Energie cinétique de son centre de
masse dans le
référentiel lié au sol
|
|
Ceci conduit alors à l'expression :
2
1 ? 1? ?
Ec = m vG + 1 1 1
ù I ù
. . (14)
1 1 1
2 2
Avec :
? & ? ?
ù 1 = è 1 . 1 y
1 + á & . 1 z 1 (15)
0
0
2
m 1 R
|
?
?
? ? ? ? ?? ?
|
(16)
|
4
|
|
?
?
I= 1 ? ?
??
?
0 0
Et
2
R
0
m 1
4
2
m R
1
0
2
dans les axes principaux d'inertie de la roue 1.
2
1
1 = m R è & + á &
. 2 2
Ec (6 ) (17)
1
8
De même :
2
3
3 = m R è & + á &
. 2 2
Ec (6 ) (18)
3
8
Le robot étant considéré parfaite ment
symétrique :
m1=m3=m (19)
et posons :
m2=M (20).
(17) et (18) deviennent :
2
Ec 1 = m R è & +
á &
. 2 2
(6 ) (21)
1
8
2
Ec 3 = m R è & +
á &
. 2 2
(6 ) (22)
3
8
Pour le châssis, le théorème de KOENIG
donne :
2
? ? ?
1 M vG 1
Ec = + 2 2 2
ù ' ù
. . (23)
2 2
2 2
Avec :
? ?
ù 2 = á & . 1 z 1
(24)
?
' = ?
2 12 ?
?
0 0
b
2 + c 2
M ?
d b
2 2
0 + 0 ? (25)
c d
2 2
+
0 0
Et
dans les axes principaux d'inertie du châssis. (Figure
6)
MR 2 M
2 2 2 2
Ec = è & è &
( + ( ). (26)
2 1 3 ) + c d á &
+
8 24
Et finalement, on a :
2 2 2 2
) MR 2
(27)
(6 m M R
+ mR M c d
? ( + ) ?
2 2 2
= ( è è
& &
EcR + ) è è
& &
+
1 3 1 3
. + + á &
8 4 ?? 4 24 ??
| 
