Etude statistique des facteurs d'adhésion à un réseau de téléphonie mobile dans la ville de Lubumbashi. (Cas des étudiants de la ville de Lubumbashi).

II.5 NOTION

Soit S le nombre des questions posées a un individu, le tableau V (n, s) n lignes et s questions sous forme de codage condensés, le terme général

P a g e | 31

xiq désigne la modalité de la question q choisit par le sujet i, I étant l'ensemble de n sujet ayant répondu au questionnaire.

Pqs : nombre des modalités des réponses a une question q, p donc recoder les variables.

?pq, un tel tableau n'est pas exploitable ; il faut donc recoder les variables.

II.6 PRATIQUE DE L'ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDENCES

Considérons le nuage de profils des individus de Rp et supposons p? n. Soit g le centre de gravité : qj= {qj|j£J} ; qj=? _j|i. ^i=? _ij= j.

a) Distance de X2

La distance de X² entre i et i' du centre _j est : matériellement

d2 (i, i')=d²j ( j|i^- j|i')² ?( j|i^- j|i') ( j|i^- j|i').

Cette distance du ² a la propriété d'équivalence distributionnelle c'esta-dire deux éléments i et i' dont I a le même profil ( j|i= j|i') ; on peut le remplacer par un seul élément i» affecter de la somme des poids correspondants sans modifier la distance entre les éléments de j».

b) Analyse du nuage N(I) : ACP

Soient le nuage N(I) du point i dans R^p de coordonnée _j|i affecté des masses i. N(I)= j|i|i I} avec j|i=

On munit l'espace R^p de la distance du X² entre deux points i et i'

d²X² (i, i') = _d2 2( j|I, j|I') =

2

)

l'espace R^p est le centre = {g,j J} ou g= j. ainsi la distance du X² est : d²X²(i,i') =

~ 2 ; d'o~ les coordonnées des points i dans Rp

sont modifiés pour avoir :

; nous avons les nouvelles

coordonnées des points i par la métrique du X² .

L'analyse du nuage se ramène a l'ACP du triplet : ( j|i ; ?p= i ; ).

1) Axe, facteurs principaux et composantes principales

> Forme quadratique : l'inertie et la matrice a diagonalise :

ajj'= ? ( _j|i- ^j)( j'|i^- j')

Sous l'espace R^p munit de la métrique , la forme quadratique d'inertie

est donc : m0jj'= ~

~ ~

~ ~ si on pose xij=

, on

remarque que la forme quadratique devient :

m0 ojj'=?Xij. Xij' est la matrice associée a cette forme d'inertie est la matrice à diagonaliser.

2 -₁₎ _ _

Trace m0o^-jj'=??Xij= , tp 1) (n-1)

X² est la distance entre la loi marginale ( ,j) et la situation d'indépendance i j.

d²x= ( ij; i j) = 2

2 Pi 2

La trace de m0= i Pi= car ij= ? ij. ⁱ⁼ ij.

Sous l'hypothèse des diverses modalités ij : la trace de la matrice a diagnostiquer est un X² a (n-1)(p-1) degré de liberté(ddl) qui est égale a la

somme des valeurs propres :

~ .

+ Facteurs principaux :

On diagonalise la matrice associée a la forme quadratique d'inertie de terme général :

jj'=

i i i

i i

i Y ~

~ ~

Apres diagonalisation, on trouve : Trace m0jj'=¹+

~

A la valeur propre 1, associée au vecteur propre jt0= j (centre du nuage) ; correspond a la situation d'indépendance.

On l'appelle valeur triviale a laquelle est associé le facteur principal trivial qu'on ne considère pas dans l'analyse.

Il vient que les valeurs propres de l'analyse factorielle de correspondance sont toujours 0?ë?1 car plus grande des ces valeurs est triviale et égale a 1, ces valeurs propres provenant d'une forme quadratique semi-définie, elles ne peuvent qu'être supérieur a 0. 0?ë?1.

·
· Composantes principales de N(I) :

La protection du point i de coordonné réduit

~ est Ci = ~~

~ .

~

(la nouvelle coordonnée du point i). 2) Analyse du nuage :

On peut trouver les représentations des points j en renversant les rôles de i et de i et de j.

Sii'= j

n étant souvent très élevé, le calcul de la

j '

~

diagonalisation d'une matrice nxn sont très couteux, par des relations des transitions, on montre que les composantes de l'une des analyses se déduisent de celles des autres.

Ainsi : C = . Ou est le i^eme facteur.

Ainsi les facteurs nuage N (J) sont proportionnels aux coordonnées des points représentatifs des N(I) sur l'axe factoriel du nuage et réciproquement.

On peut représenter les proximités entre les éléments des nuages N(I) dans le plan principal et sur le même plan, les proximités entre les éléments du nuage N(J).

Cette représentation simultanée se justifie par le fait que les facteurs de l'une de l'analyse sont les barycentres des facteurs de l'autre analyse a
près.

Ainsi on passe du barycentre de C1 pondérée par les _i|j au point d'abscisse C _j par le rapport

le long de chaque axe principal. Il s'agit d'une dilatation des nuages, d'autant plus fort que ë est petit ; l'axe est de rang élevé.