Modélisation en risques de crédit : dérivés de crédit et calibration de modèles structurels

Chapitre 4 Les modèles structurels

Autrement dit, A*ô est la valeur en dessous de laquelle le put sur l'action sera exercé. Notons í la volatilité implicite du put et posons

Le paramètre ? est souvent appelé moneyness de l'option (lorsque ? = 1, l'option est à la monnaie du forward). Le paramètre á est la moneyness du point de vue de la valeur de la firme. Par définition, la volatilité implicite y du put est solution de l'équation

Où

En utilisant alors l'équation

(4.4)

il vient

(5.5)

	En
utilisant une nouvelle fois l'équation (4.4), nous pouvons aussi écrire que

Chapitre 4 Les modèles structurels

Où

de sorte que (4.6)

Pour un jeu de paramètres (l0; ó; T) du modèle de Merton et une maturité d'option ô (< T), les équations (4.5) et (4.6) définissent une relation implicite de la forme y = Fonction(?);qui conduit à un smile de volatilité. Les propriétés de cette relation peuvent se résumer en quelques faits stylisés :

(1) le spread de crédit est une fonction croissante de la volatilité implicite ;

(2) la relation entre la pente (skew) du smile de volatilité et le spread de crédit est plus complexe : pour des spreads faibles, la pente est une fonction croissante du spread ; pour des niveaux de spread plus élevés, la variation de la pente devient négligeable ;

(3) enfin, la pente est une fonction croissante de la volatilité implicite à la monnaie.

Ces résultats suggèrent une nouvelle méthode pour implémenter le modèle de Merton : étant données deux volatilités implicites et une valeur pour T, on peut résoudre les équations (4.5) et (4.6) pour obtenir l0 et ó. Cette implémentation permet donc d'estimer directement le spread de crédit et la probabilité risque-neutre de défaut à partir du smile de volatilité tout en évitant le recours à la relation instantanée (4.3).

Ces résultats peuvent ensuite être utilisés comme un indicateur du risque de crédit. Les auteurs ont testé cette approche en comparant le classement des spreads obtenus par cette méthode avec les spreads du marche des CDS et ont montré que ces classements sont proches. Cette méthode permet donc, par exemple, d'étudier la qualité de la signature d'entreprises dont le marché de CDS n'existe pas ou n'est pas très liquide.

Chapitre 4 Les modèles structurels

4.2.8Limites du modèle et extensions

La principale limitation du modèle de Merton est que les spreads implicites court terme sont nécessairement proches de zéro contrairement aux spreads réellement observés sur les marchés de capitaux. Cette propriété du modèle est liée à la continuité de la filtration brownienne (ou, de manière équivalente, à la prévisibilité de l'instant de défaut). Duffie et Lando expliquent cette apparente contradiction par le fait que l'asymétrie d'information qui existe entre les actionnaires et les détenteurs de la dette n'est pas prise en compte par ce modèle. Ils ont montré [10] que si ces derniers ne disposent que d'une information comptable partielle (ou «bruitée») l'instant de défaut leur apparait comme totalement inaccessible. Ces résultats permettent de justifier l'utilisation des modèles à forme réduite dont nous aborderons l'étude dans le prochain chapitre.

Le modèle de Merton peut être étendu dans différentes directions : Nous verrons dans la section 4.3 consacrée aux modèles de premier instant de passage comment l'on peut incorporer des défauts se produisant à un instant quelconque de l'intervalle [0; T] ; Vasicek [11] propose un modèle de Merton prenant en compte l''echelonnement de la dette ; Longstaff & Schwartz [12] introduisent un modèle de Merton intégrant des taux stochastiques.

Notons enfin que si l'on souhaite tenir compte des imperfections de marché (telle l'incomplétude ou le contrôle que peuvent exercer actionnaires et détenteurs de la dette sur la conduite de l'entreprise), la théorie s'éloigne sensiblement de la théorie des options. Sur ce sujet, l'on pourra se référer à Leland [13].

4.3 Modèles de premier instant de passage

L'une des limites du modèle de Merton réside dans le fait que le défaut de l'émetteur ne peut intervenir qu' à la maturité de la dette. Dans les modèles de premier instant de passage, au contraire, l'instant de défaut est (un temps d'arrêt) de la forme ô = inf{t > 0 ; At < Bar(t)} où Bar est une barrière qui peut être aléatoire et A est une variable de type «valeur de la firme». Dans les modèles de ce type, il est possible de spécifier une grande variété d'hypothèses de recouvrement en cas de défaut .

Apres quelques préliminaires mathématiques, nous présenterons un exemple de modèle de premier instant de passage : le modèle Credit Grade développé par JP Morgan.

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