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Modélisation en risques de crédit : dérivés de crédit et calibration de modèles structurels

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par Mohamed Naji JELLALI
Université de Sfax-Tunisie - MASTÈRE 2011
  

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4.3.1 Préliminaires mathématiques

Nous commençons ce paragraphe par un lemme bien connu de la théorie des diffusions Dans la suite, Y désigne un mouvement brownien avec dérive de sorte que

Yt = y0 + pt + óBt ; (y0 > 0; p ? IR; ó > 0) où B est un mouvement brownien unidimensionnel.

4.3.2 Lemme

Une preuve de ce lemme est donnée en Annexe

Considérons le temps d'arrêt v = inf{t > 0 ; Yt < 0 }.Appliquer le lemme précédent à Yy0 suffit à prouver :

4.3.3 Proposition La variable aléatoire ô est distribué selon la loi gaussienne inverse. Plus précisément,

Exemple. Nous considérons une entreprise dont la valeur A est décrite comme dans le modèle de Merton et nous supposons que l'instant de défaut de la firme se présente sous la forme v = inf{t > 0 ; At < v } où v est un réel inferieur `a A.

Dans ce cas, nous avons :

Ou

Chapitre 4 Les modèles structurels

4.4 Modèle Credit Grade

Dans ce paragraphe, nous présentons un modèle de premier instant de passage développé par JP Morgan (Credit Grade, voir [14]).

Nous avons choisi de présenter ce modèle car il nous semble qu'il contient des intuitions puissantes sur ce que sont les déterminants du risque de défaut et les liens qui existent entre le risque de crédit et le risque equity.

4.4.1 Description du modèle

Nous supposons que la «valeur» V d'une entreprise est décrite par un processus satisfaisant à l'EDS dVt / Vt = ó dWt ; (ó > 0); W est un mouvement brownien unidimensionnel et ó > 0 est la

volatilité de V.

Ici, V n'est pas réellement la valeur de la firme mais plutôt un indice mesurant l'évolution temporelle de la qualité du crédit de l'entreprise. Dans ce modèle, le défaut est défini comme le premier instant ou V atteint une barrière LD

(1) D est le ratio debt-per-share,

(2) L est une grandeur aléatoire représentant le taux de recouvrement moyen global en cas de défaut.

La variable L est supposée log normale de moyenne L et d'écart-type de sorte que LD = LDexp (AZA 2/2 ) Z suit une loi normale centrée réduite.

La moyenne L et l'écart-type ë sont estimés historiquement en utilisant des données de taux de recouvrement telles celles fournies par Standard & Poor's. Dans [14], les auteurs mentionnent les valeurs L = 0,5 et ë = 0,3 obtenues à partir des données de défaut de 300 entreprises américaines (hors institutions financières) entre 1987 et 1997.

Le ratio debt-per-share D est obtenu en divisant le nominal de la dette globale par le nombre d'actions émises par l'entreprise. Pour une valeur V0 donnée, l'instant ô de défaut est donc

r = inf{t > 0 ; Vt < LD}

et si l'on pose Xt = óWt -ëZ- 1/2ó 2 t-1/2ë2

Xt ~ N(-Y2 At 2, At ),o`u At 2= ó 2 t + ë2, cette formule peut se réécrire r = inf{t > 0 ; Xt < ln (LD/V0) - ë2}

Pour appliquer les formules présentées dans le paragraphe précédent (afin d'obtenir une formule fermée pour la structure par terme de probabilité de défaut), les auteurs proposent de remplacer Xt avec un mouvement brownien Yt de loi N(ìt; è2t), où è2t = At2 = ó 2t + ë2 et

ìt =-Y2 At 2, D'après le lemme 4.3.2, l'on a

Chapitre 4 Les modèles structurels

et en posant y = ln(LD/V0)- ë2, l'on obtient la formule :

Remarque. L'introduction dans un modèle structurel d'une barrière aléatoire implique que la probabilité de défaut instantanée n'est plus nulle. Ceci conduit à un spread court-terme non nul et permet de résoudre l'un des problèmes inhérents aux modèles à la Merton.

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