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Modélisation en risques de crédit : dérivés de crédit et calibration de modèles structurels

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par Mohamed Naji JELLALI
Université de Sfax-Tunisie - MASTÈRE 2011
  

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4.4.2 Probabilité de défaut et spread de crédit

Dans ce paragraphe, nous désignons par spread de crédit la valeur de la marge d'un Credit Default Swap qui annule sa valeur au moment de l'entrée dans le swap. Autrement dit, le spread est donné par la formule

Il faut bien prendre garde au fait que R est le taux de recouvrement spécifique au titre couvert par le CDS et n'est donc pas nécessairement égal à L qui est un taux de recouvrement moyen global. Typiquement, le taux de recouvrement pour une dette unsecured sera plus faible que L, alors que celui lié à une dette secured sera plus grand que L.

Remarque.

Si l'on note

p(t) = -1/t . ln P(t);

le taux de défaut moyen et si l'on suppose que

(1) p(t) p constant,

(2) P(0) 1,

alors l'approximation suivante est justifiée s(t) (1-R)p.

Chapitre 4 Les modèles structurels

4.4.3 Calibration du modèle sur les données de marche

Nous cherchons maintenant à calibrer ce modèle sur des données de marché observables(données equity). Soient S et óS respectivement la valeur de l'action et la volatilité de l'action de l'entreprise considérée. La méthode proposée par JP Morgan consiste à examiner les conditions aux bords à long terme sur une expression de type distance-au-défaut pour les deux régimes extrêmes

§ prés du défaut c'est- à-dire S--0,

§ loin de la barrière c'est-à-dire S LD.

Soit donc ç la distance-au-défaut mesuré en écart-type de V et définie par

Reprendre le raisonnement qui nous a conduit à la formule 4.3 permet d'exprimer la distance-au-défaut sous la forme :

(4.7)

Nous allons établir les conditions aux bords pour. Prés du défaut (S--0), nous

Avons

En utilisant l''equation précédente et (4.7), on montre que lorsque S--0

Lorsque S »LD, on suppose que S/V--1 (ce qui est cohérent avec le comportement d'un modèle de Merton standard). Par suite,

L'expression la plus simple pour qui satisfasse simultanément à ces deux conditions aux bords est

En comparant l'équation précédente avec (4.7) nous sommes conduits à

Chapitre 4 Les modèles structurels

V = S + LD ; et donc V0 = S0 + LD:

Finalement, l'on obtient

ó= ó*S . {S*/(S* + LD)}

pour une valeur de l'action égale à S et sa volatilité (historique ou implicite) correspondante.

La formule suivante pour la probabilité (risque neutre) de défaut ne fait plus intervenir que des variables observables

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