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Modélisation en risques de crédit : dérivés de crédit et calibration de modèles structurels

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par Mohamed Naji JELLALI
Université de Sfax-Tunisie - MASTÈRE 2011
  

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Chapitre 5

Les modèles structurels en

pratique (Exemples de modèles):

5.1 Exemples de modèles :

Dans la pratique, les outils de gestion du risque de crédit reposant sur cette approche sont le modèle KMV de Moody's et la méthode CreditMetrics de JPMorgan entre autres.

5.1 .1 Modèles KMV (Kealhofer, McQuown et Vasicek) de Moody's

KMV ont développé plusieurs modèles de quantification du risque de crédit : Credit Monitor, Credit Edge et Private Firm Model pour le risque de crédit individuel et Portfolio Manager pour le risque de crédit des portefeuilles. Les produits CreditMark pour le calcul de la valeur marked-to-market des instruments peu liquides et CDO Analyser pour l'analyse des risques des Collateralised Debt Obligations ont été développés par M-KMV suite à l'acquisition de KMV Corporation par Moody's.

Les modèles KMV reposent sur la notion de "distance au défaut" ("distance to default") qui est calculée en regard de la barrière qui enclenche le défaut. Une fois la distance au défaut calculée, elle est convertie en probabilité de défaillance (appelée aussi "fréquence de défaut espérée" ou "Expected Default Frequency" ou EDF).

La distance au défaut est définie de la façon suivante :

oÙ VA correspond à la valeur de marché des actifs de l'entreprise, óA la volatilité des actifs et X est le point de défaut qui correspond à la somme de la dette à long terme et de la moitié de la dette à court terme.

Plus la DD est grande, moins il y a de chance que l'entreprise soit en défaut.

On suppose dans le modèle de Merton que l'entreprise a émis des actions et des obligations en t = 0. A la date de maturité T, les actionnaires reçoivent (VA - X) lorsque VA > X et 0 lorsque VA ? X. En résumé, ils reçoivent max(VA - X, 0) en T. Cette situation s'apparente à

l'achat pour les actionnaires d'une option d'achat (ou call) sur la valeur de marché des actifs de l'entreprise et dont le strike X correspond à la valeur comptable de la dette. En supposant,

Chapitre 5 Les modèles structurels en pratique

comme le fait Merton, que VA évolue suivant un processus de diffusion géométrique de la forme salivate :

dVA / VA = u dt + aA dWt , où Wt est le processus de Wiener standard, la valeur boursière de l'entreprise est donnée par (il s'agit du prix d'une option d'achat européenne fourni par Black et Scholes (1973)) :

VE = VAN(d1) - exp(-rT )X N(d2), où N(.) désigne la fonction de répartition de la loi normale avec :

KMV fait l'hypothèse d'une structure de capital uniquement composée d'actions, de dettes à

court terme, de dettes à long terme de maturité infinie (perpétuité)etdetitres convertibles.Dans la réalité, la valeur de marché VA et la volatilité des actifs aA ne sont pas observables.Elles seront déduites à partir des valeurs des options VE. En supposant que VE = f(VA, aA, X,c, r) et aE = g(VA, aA, X, c, r) où c désigne le coupon payé sur la dette long terme et r le taux d'intérêt sans risque et en appliquant le lemme d'Itô à ces 2 fonctions et en arrangeant les termes, on obtient :

Or

 

,

puisque la valeur VE est définie par VE = VA N(d1) - e-rT X N(d2).

D'où :

Nous obtenons alors un système de 2 équations à 2 inconnues VA et aA :

Chapitre 5 Les modèles structurels en pratique

Une fois les expressions de VA et óA déterminées, nous pouvons en déduire la formulation suivante de la distance au défaut :

A partir de la distance au défaut, on peut inférer la probabilité de défaut de la façon suivante :

Dans la réalité, la probabilité de défaut ne correspond pas à une loi normale. C'est pourquoi KMV ont défini des tables basées sur des données historiques qui associent aux différentes valeurs possibles de DD sur un horizon donné une probabilité de défaut constatée empiriquement (elles montrent combien de sociétés faisant état d'un DD similaire ont effectivement fait défaut sur l'horizon temporel considéré).

Pour le calcul du Credit Value-at-Risk ou CreditVaR destinée à la constitution d'une réserve de capital pour faire face aux pertes potentielles liées aux variations du portefeuille, KMV se

basent sur la détermination de la grandeur aléatoire L des pertes du portefeuille définie de la manière suivante sur un horizon H :

L = VH/ND - VH, où VH/ND est la valeur du portefeuille en H en l'absence de pertes et VH est la valeur de marché du portefeuille en H. KMV montrent que la distribution de L peut être approchée par une distribution normale inverse. La CreditVaR est alors calculée à partir des quantiles de la distribution de L.

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