WOW !! MUCH LOVE ! SO WORLD PEACE !
Fond bitcoin pour l'amélioration du site: 1memzGeKS7CB3ECNkzSn2qHwxU6NZoJ8o
  Dogecoin (tips/pourboires): DCLoo9Dd4qECqpMLurdgGnaoqbftj16Nvp


Home | Publier un mémoire | Une page au hasard

 > 

Modélisation en risques de crédit : dérivés de crédit et calibration de modèles structurels

( Télécharger le fichier original )
par Mohamed Naji JELLALI
Université de Sfax-Tunisie - MASTÈRE 2011
  

précédent sommaire suivant

ANNEXE 1

Lemme d'Itô

Le lemme d'Itô, ou encore formule d'Itô est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).

Énoncé

Soit un processus d'Itô processus stochastique de la forme

Autrement formulé, on a

avec et deux fonctions aléatoires satisfaisant quelques hypothèses techniques d'adaptation au

processus (mouvement brownien).

Si est une fonction de classe alors la formule d'Itô s'écrit

Un exemple : le modèle Black-Scholes

Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :

? est le prix de l'action sous-jacente,

? (constant) est le taux de dérive jen) du prix de l'action,

ANNEXE 1

? (constante) est la volatilité du prix de l'action,

? est un mouvement brownien.

Si alors nous sommes face à une équation différentielle ordinaire dont la solution est

En posant on obtient grâce à la formule d'Itô :

On peut alors intégrer et il en découle que :

Applications

? La formule d'Itô est l'une des pierres angulaires du calcul stochastique, et est utilisée dans de

très nombreux domaines: mathématiques appliquées, physique, finance, biologie, Mécanique quantique, traitement du signal, etc..

En calcul stochastique,

? Elle permet de faire le lien entre les solutions d'EDS et des opérateurs différentiels du

second ordre, et donc entre la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles.

? Elle permet d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de

régularité sur les coefficients.

ANNEXE 2

Equation de Black & Scholes (modèle standard)

Nous allons étudier ici le modèle BS dans sa forme simple avant l'apport de Robert Merton sur la volatilité déterministe et les taux aléatoires.

Considérons un marché sans coût de transaction où sont échangés 2 types d'actifs avec absence de possibilité d'arbitrage: risqué et non risqué. La cotation est réalisée en continue à un taux constant r. Le spot du sous-jacent à l'émission est noté S0 et son évolution est déterminée par un mouvement brownien. On notera p la tendance ou dérive (i.e. l'espérance de rentabilité du support sur son historique de cours), ó la volatilité du sous-jacent (le paramètre de diffusion) et Wt un mouvement brownien.

Cette équation est donc une équation différentielle stochastique (EDS) qui régit un mouvement brownien géométrique (MBG) St avec p et ó connues et constants. On peut déduire la dérive du mouvement :

Car d'après le lemme d'Itô on obtient pour ln(St) :

Ce qui nous permet d'écrire :

On retrouve donc bien le terme de dérive du mouvement. On peut également montrer que ce MBG est log-normalement distribué en rappelant que S0 ne peut être négatif car le cours d'une action n'est jamais négatif en vertu de la responsabilité limité de l'actionnaire:

St est donc log-normal et la solution de St s'écrit :

précédent sommaire suivant