WOW !! MUCH LOVE ! SO WORLD PEACE !
Fond bitcoin pour l'amélioration du site: 1memzGeKS7CB3ECNkzSn2qHwxU6NZoJ8o
  Dogecoin (tips/pourboires): DCLoo9Dd4qECqpMLurdgGnaoqbftj16Nvp


Home | Publier un mémoire | Une page au hasard

 > 

Modélisation en risques de crédit : dérivés de crédit et calibration de modèles structurels

( Télécharger le fichier original )
par Mohamed Naji JELLALI
Université de Sfax-Tunisie - MASTÈRE 2011
  

précédent sommaire suivant

ANNEXE2

 
 

Définissons à présent la valeur ât de l'actif sans risque en t.

On peut définir le rendement de l'actif

sans risque au taux constant r comme la différentielle de ât : La solution de cette

équation est :

Introduisons à présent une option européenne avec pour sous-jacent St. Notons qu'aucun dividende n'est versé.

L'intuition de F. Black et M. Scholes s'exprime par la recherche dans les stratégies autofinançantes de celle(s) qui duplique(nt) le call et dont la ou les valeur(s) s'exprime(nt) comme une fonction déterministe de St et de t que l'on notera it(t, St). L'idée est donc qu'il existe un portefeuille autofinancé composé du sous-jacent et de l'actif sans risque dont la valeur en T est égale au payoff ØT de l'option. On tente donc de trouver le processus itt qui représente la valeur d'un portefeuille autofinançant et dont la valeur en T est celle du payoff à dupliquer. L'expression it doit donc être suffisamment régulière au sens d'Itô ; i.e. la fonction it doit être 1 fois continûment différentiable sur t et 2 fois continûment différentiable sur St. Sous ces conditions, nous pouvons appliquer la formule d'Itô :

De notre 1ère équation

on déduit et on remplace :

On cherche à présent à respecter

l'égalité suivante ()

Afin que it(t, St) représente à tout instant t la valeur d'un tel portefeuille. Remanions cette égalité :

ANNEXE2

On a ainsi obtenu l'équation aux

dérivées partielles de Black & Scholes (EDP d'évaluation). A ce stade il reste à vérifier que le portefeuille autofinançant synthétise l'option :

Rappelons que nous sommes en absence de possibilité d'arbitrage, ce qui implique que la valeur du portefeuille dupliquant est, à chaque instant, égale à celle du titre dupliqué :

Dans le cas où le payoff est égal à celui

- d'un call ( )

- ou d'un put ( ) ,la solution est donnée par la formule de Black & Scholes :
,

Notons que N(u) fait référence à la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite :

ANNEXE 3

Démonstration du Lemme 4.3.2

Dans cette partie, nous allons démontrer le résultat suivant :

Posons

La démonstration revient à prouver le lemme suivant : Lemme E.1

En

effet :

et donc

ANNEXE3

L'extension au cas général est alors immédiate en écrivant :

La démonstration du lemme 4.3.2 repose sur le Principe de réflexion dont nous rappelons l'énoncée :

Proposition E.2 (principe de réflexion) Parmi les trajectoires browniennes qui atteignent le niveau y avant l'instant t, il y en a autant en dessous de x qu'au dessus de 2y-x en t. Autrement dit :

ce qui se réécrit de la façon suivante :

Nous allons à présent prouver le lemme. D'âpres le théorème de Girsanov il existe une probabilité'e P 'équivalente à P définie par sa densité de Radon-Nikodym

Telle que

Soit un -mouvement brownien, et une probabilité équivalente à

définie par la densité

 

Telle que Wt = Xt + ìt soit un e -mouvement brownien.

Soit x=y, on a

précédent sommaire suivant