Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

Annexe 2

Preuve que le Jacobien du changement de variables (1.31) est :

?(p^', q^') ?(p, q)

_p'0_q'0

= _(1.33) p⁰q⁰

Le Jacobien du changement de variables (p, q) (p^', q^') défini par (1.31)

est donné par :

?(p^', q^') ?(p,q)

=

????????????????

?p^'1 ?p^1 ?p^'2 ?p^1 ?p^'3 ?p^1 ?q^'1 ?p^1 ?q^'2 ?p^1 ?q^'3 ?p^1

?p^'1 ?p^2 ?p^'2 ?p^2 ?p^'3 ?p^2 ?q^'1 ?p^2 ?q^'2 ?p^2 ?q^'3 ?p^2

?p^'1 ?p^3 ?p^'2 ?p^3 ?p^'3 ?p^3 ?q^'1 ?p^3 ?q^'2 ?p^3 ?q^'3 ?p^3

?p^'1 ?q^1 ?p^'2 ?q^1 ?p^'3 ?q^1 ?q^'1 ?q^1 ?q^'2 ?q^1 ?q^'3 ?q^1

?p^'1 ?q^2 ?p^'2 ?q^2 ?p^'3 ?q^2 ?q^'1 ?q^2 ?q^'2 ?q^2 ?q^'3 ?q^2

?p^'1 ?q^3 ?p^'2 ?q^3 ?p^'3 ?q^3 ?q^'1 ?q^3 ?q^'2 ?q^3 ?q^'3 ?q^3

????????????????

?(p^', q^') ?(p, q)

=

????????????????

1 + ?C ?p1 ù1 ?p2 ù1 ?C ?p3 ù1 ?C ?q1 ù1 ?C ?q2 ù1 ?C ?q3 ù1 ?C ?p1 ù2 1 + ?C ?C ?p2 ù2 ?p3 ù2 ?C ?q1 ù2 ?C ?q2 ù2 ?C ?q3 ù2 ?C ?p1 ù3 ?C ?p2 ù3 1 + ?C ?C ?p3 ù3 ?q1 ù3 ?C ?q2 ù3 ?C ?q3 ù3 ?C _ ?C w1 _ ^aCw^i _ ^aCù^1 1 _ ?C _ ^?Cw^i _ aCù1 ?p^1 a,^2 ap^3 ?q^1 ?q^2 aq^3 _ ?C ù2 _ ?C ù2_ ?Cù2 _ ^?Cù^2 1 _ ?C ù2 _ ?C ù2 ?p^1 ?p^2 ap^3 aq^1 ?q^2 ?q^3 _ ^?Cw^3 _^aCw^3 _^aCw^3 _^aCù^3 _^?Cù^3 1 _ ?C ù3 ?p^1 a,^2 aP^3 aq^1 ?q^2 ?q^3

????????????????

où C(p, q, ù) est tout simplement noté C, ù = (ù¹, ù², ù³). En effectuant les opérations élémentaires L4 - L1 + L4 ; L5 - L2 + L5 ; L6 - L3 + L6, on obtient :

?(p^', q^') ?(p, q)

= ????????????????

1 + ?C

?p1 ù1 ?p2 ù1

?C ?p3 ù1

?C ?q1 _ù1 ?C

?C ?q2 _ù1 ?C

?q3 ù1

?C

????????????????

?p1 ù2 1 + ?C

?p2 ù2 ?p3 ù2

?C ?q1 _ù2 ?C

?C ?q2 _ù2 ?C

?q3 ù2

?p1 ù3

?C ?p2 ù3 1 + ?C

?C ?p3 ù3 _?q1 ?C ù3 _?q2 ?C _ù3 ?C

?q3 ù3

1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

Mémoire de MASTER 51 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

3.2 Existence globale des solutions

Des opérations élémentaires C1 ?- C1 -C4 ; C2 ?- C2 -C5 ; C6 ?- C3 -C6, on obtient:

?(p^', q^') ?(p, q)

=

????????????????

1 + ( ?C ?p1 - ?C )ù1 ( ?C ?p2 - ?C )ù1 ( ?C ?p3 - ?C )ù1 ?C ?q1 ù1 ?q2 ?C ù1 ?C ?q^3ù^1 ?q^1 ?q^2 ?q^3 ( ?C ?p1 - ?C )ù2 1 + ( ?C )ù2 ?q1ù2 ?C ?C ?p2 - ?C )ù2 ( ?C ?p3 - ?C ?q2ù2 ?C ?q^3ù^2 ?q^1 ?q^2 ?q^3 ( ?C ?p1 - ?C )ù3 ( ?C ?p2 - ?C )ù3 1 + ( ?C ?p3 - ?C )ù3 ?C ?q1 ù3 ?q2 ?C ù3 ?C ?q3 ù3 ?q^1 ?q^2 ?q^3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

????????????????

[ _(?C ) ][ _(?C ) ( ?C ) ]

= 1+ ù¹ 1+ ù3

?p1 - ?C ?p2 - ?Cù2+ ?p3 - ?C

?q¹ ?q² ?q³

(?C ) )( ?C

-ù1ù2 ?p1 - ?C )( ?C (?C

-ù1ù3 )

?p2 -?C ?p1 - ?C ?p3 - ?C

?q¹ ?q² ?q¹ ?q³

( ?C ) ( ?C ) ( ?C )

= 1 + ù3

?p1 - ?C ù1 + ?p2 - ?C ù2 + ?p3 - ?C

?q¹ ?q² ?q³

d'où :

?(p^', q^') ?(p, q)

( ?C ) ( ?C ) ( ?C ) = 1+ ù^1+ ù2+ ù^3 (1) ?p1 - ?C ?p2 - ?C ?p3 - ?C ?q^1 ?q^2 ?q^3

( ) ( ) ( )

?C

Calculons ?p1 - ?C ?C ?C

, ?p2 - ?C et ?p3 - ?C .

?q¹ ?q² ?q³

On pose :

A=2p⁰q⁰?eù·(^?q-^?p)et B=?e2- [ù · (p + q)]²

(1.32) donne :

A

C = B

d'où :

?C

?C

?pⁱ

?qi =

i = 1, 2, 3 (2)

B(aP - aq) - A(ap - aq)

,

B2

or

A = 2p⁰q⁰?e ù · (^?q - ^?p)

= 2?e ù · (p⁰q - q⁰p)

= 2?e[a²ù¹(p⁰q¹ - q⁰p¹) + b²ù²(p⁰q² - q⁰p²) + b²ù³(p⁰q³ - q⁰p³)]

Mémoire de MASTER 52 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.