3.2 Existence globale des solutions
En dérivant :
a2p1
;
p0
??e ?p0 ?p1
?p1
??e a2q1
?q1 q0
?A ?p1
= 2a2p1
p0ù ·(p0q
-q0p)-2a2?e
ù1q0 +2a2?e p1
p0(ù · q) (3)
de même :
?A ?q1
2 q1 0 0 2?1 0 2?q1
Et :
= 2a 0ù · (p q - q
p) + 2a e ù p ? 2a e q0 (ù ·
p) (4)
1
?p1 = 2a2?e ~0
?B
-2a2ù1ù·(p+q)
(5)
?q1 = 2a2?e q1
q0
?B
2a2ù1ù
·(p+q) (6)
(3) et (4) donnent :
?A ?A ?p1 ?q1
)
=
2a2(ù·(p0q-q0p))(p1
(p1 )
p0 - q1 -2a2?e
ù1(p0
+q0)+2a2?e p0(ù
·q)+ q1
q0 (ù·p)
q0
d'où :
?A
?p1
) )
?q1 =
2a2(ù·(p0q-q0p))(p1
(p1
?A p0 -q1
-2a2?e2ù1+2a2?e p0
(ù·q)+q1
q0 (ù·p) (7)
q0
(5) et (6) donnent :
?B ?B ?p1 ?q1
(p1 )
= 2a2?e p0 - q1q0
(8)
En procédant comme ci-dessus, on a :
?A
? ?p2
= 2b2p2
p0ù · (p0q
- q0p) - 2b2?e
ù2q0 + 2b2?e p2
p0 (ù · q) (9)
?A ?q2
= 2b2 q2
q0 ù · (p0q
- q0p) + 2b2?e
ù2p0 - 2b2?e
q2
q0 (ù · p) (10)
= 2b2?e p
p0
-2b2ù2ù·(p+q)
(11)
?B ?p2
2
= 2b2?e q
q0
2b2ù2ù·(p+q)
(12)
?B ?q2
2
Mémoire de MASTER 53
MOUTNGUI SEE c?UYI
2010-2011.
(9) et (10) donnent :
?A ?A ?p2 ?q2
)
= 2b2(ù ·
(p0q - q0p))(p2
(p2 )
p0 - q2 -
2b2?e2ù2
+ 2b2?e p0 (ù · q) + q2
q0 (ù · p) (13)
q0
3.2 Existence globale des solutions
(11) et (12) donnent :
?B ?B
?p2 ?q2
(p2 )
= 2b2?e p0 - q2 (14)
q0
?A
? ?p3
?A ?q3
2 p3
0 0 2? 3 0 2? 3
= 2bp0ù ' (pq - qp) -
2be ùq + 2bep0(ù
' q) (15)
2 q3 0 0 ~ 2~ q3
= 2bq0ù ' (pq - qp) +
2b2eù3P0
- 2beq0(ù ' p) (16)
|
?B ?p3
|
= 2b2?e p3
p0
|
-2b2ù3ù'(p+q)
(17)
|
|
?B ?q3
|
= 2b2?e q3
q0
|
2b2ù3ù'(p+q)
(18)
|
Mémoire de MASTER 54 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
(15) et (16) donnent :
?A ?A ?p3 ?q3
= 2b2(ù '
(p0q - q0p))(p0 3 -
q0 ) -
2b2?e2ù3
+ 2b2?e (P0 (ù ' q) +
q0 (ù ' p)) (19)
(17) et (18) donnent :
?B ?B ?p3 ?q3
(p3 )
= 2b2?e p0 - q3 (20)
q0
De (1), (2), (7), (8), (13), (14), (19) et (20) on obtient :
|
?(p', q')
?(p, q)
|
= 1+
|
( [ ( ?A ) ( ?A ) (
?A )]
1 B ù1
+ù2 +ù3
?p1 - ?A ?p2 - ?A ?p3 -
?A
B2 ?q1 ?q2
?q3
[ (?B )
(?B ) (?B
)])
-A ù1 ?p1 - ?B +
ù2 ?p2 - ?B + ù3 ?p3
- ?B
?q1 ?q2
?q3
|
|
= 1 +
|
[ 1
B
|
?e2 A2
2p0q0(ù '
(?q - p))2 2?e2 +
Pq0(ù ' p)(ù ' q)] +
B2p0q0
|
|
C2
= 1 + p0q0 +
|
Bp0q0 [ -
(p0)2(q0)2((ù
' p
)2 +(ù'?q)2
2(ù ' ?p)(4,0
)(w
|
- p0q0
?e2 (p +
q))2 -
p0q0(ù (p +
q))2 + ?e2(ù '
p)(ù ' q)]
|
C2
= 1 + p0q0
|
2p0q0
Bp0q0 [e - (ù ' (p
+ q))2] Bp0q0 [ -
(q0)2(ù ' p)2
-
(p0)2(ù
|
+ 2p0
q0(ù'p)(ù'q)-p0
q0(ù'p)2-p0q0(ù'q)2-2p0
q0(ù'p)(ù'q)+?e2(ù'p)(ù'q)]
3.2 Existence globale des solutions
|
C2
= 1+ p°q°
|
2+
|
2
Bp°q°
[-q°(ù
·p)2?e-p°(ù
·q)2?e+?e2(ù·p)(ù·q)]
|
|
2
_ -1+P q°+
|
Bp°q°
[-q°p°(ù·p)(ù·?p)-p°q°(ù·q)(ù·?q)+p°(ù·p)(ù·q)+q°(ù·p)(ù·q)]
|
|
2
= -1 + pq°+
|
Bpq ((w'P) °° [ù ·
(q - p)] + (ù
·?q)[ù · (p -
q)])
|
|
2
_ -1+P q° +
|
2?ep°q°(ù
· (?q - ?p))(ù
· (p - q))
Bp°q°
|
|
d'où :
|
2
= -1 + pq +
°
|
C
(ù · (p - q))
p°q°
|
?(p', q')
?(p,q)
2
= -1+ pq° +
C
(ù·(p-q)) (21)
p°q°
Mémoire de MASTER 55 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
Par ailleurs, (1.6) et (1.31) donnent :
(p'°)2 = 1 +
p' · p'
= 1 + p · p + 2C(ù ·
p) + C2 = (p°)2 +
C2 + 2C(ù · p)
d'où :
(p'°)2 =
(p°)2 + C2 +
2C(ù · p)
de même on a :
(q'°)2 =
(q°)2 + C2 -
2C(ù · q)
or
?e2 =
(73'0)2
P0)2 +
(q'°)2 +
2p'°q'°
= (p°)2 +
(q°)2 +
2p°q°
ainsi
2p'°q'°
= ?e2 -
(p'°)2 -
(q'°)2
= ?e2 -
[(p°)2 +
(q°)2 + 2C2 +
2Cù · (p - q)] = ?e2 -
[?e2 -
2p°q° +
2C2 + 2Cù · (p - q)] =
2p°q° -
2C2 - 2Cù · (p -
q)
d'où :
|
p'°q'°
|
C2
= -1 + p°q° +
|
C
(ù · (p - q)) (22)
p°q°
|
|
p°q°
|
Mémoire de MASTER 56 MOUTNGUI SEE
c?UYI 2010-2011.
3.2 Existence globale des solutions
|
de (21) et (22), on conclut que :
|
8(p',
q')
8(p,q)
|
p'°q'°
= -
p°q°
|
d'où le résultat.
3.2 Existence globale des solutions
| 
