Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

Annexe 3

Preuve du Lemme 1.2

(1.47) donne : u^áu^ë ÿu^â = -?^âáë u0			ñ0u0 Fâ 1 ëJ^ë - 1 ñ0u0^F^áëJ^ëuá^uâ
= -?âáë	u^áu^ë	1q^ë ñ0u0 Fâë (f3 q0 f(t, q)ab^2dq - eu^ë
	u0

1/ a

ñ0u0 Fáëuáuâ (JJ3 q0 f(t, q)ab²dq - eu^ë

= -?âáë	u^áu^ë	uë ñ0u0Fâë(~3 q^ëf(o )ab2dq - u0 ?3 f(t,q)ab2dq)
	u0

1 ë

ñ0u0 Fáëuáuâ R3 q0 f(t, q)ab²dq + ñ0eu0uâFáëuáuë

= -?âáë

uáu°ë - ñou0Fâ(f3 qëf(qo ^q)ab2dq - uë 3 fut,q)ab2dq)

1/ a

₀ Fáëuáuâ J q0 f(t, q)ab²dq

ñ0u R3 q

d'où le système (1.52).

En explicitant les fonctions inconnues on a :

u^áu^ë

ÿu⁰ = -?⁰áë _u0

ñ0 ttë

F0 [ f3 _q0.Î(t, q)ab²dq - u0 JR 3 f(t, q)ab²dq]

?

1 që

ñ0u0 Fáëuáu0 _q0 f(t, q)ab²dq

R3

(uⁱ)²

= -?⁰

ii _u0

ë

ñ0u 10gëâF0 (?3 g0 f(t, q)ab²dq - u0 ?f(t,q)ab2dq)

1

ñ0

(uⁱ)²

ÿu⁰ = -?0 ii

0

u

giiF⁰ⁱab²

ñ0u⁰

_f

Faauá J ^ga_of(t, q)ab²dq

R3 q

[ ? ? ]

q0f(t)(q)dq- ui _qi

R3 f(t)(q)dq

_u0

R3

Mémoire de MASTER 57

MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

(F0ëu⁰ + Fiëuⁱ)

	fR3^ë q0 f(t)(q)ab2dq
ñ0

ab²

ñ0

ab²

= +

ñ0

3.2 Existence globale des solutions

or	(F0ëu^0 + Fiëu^i)	që F0iu0 / qi 2 F0iui / ?3 ° f(t)(q)ab^2 dq = - J o f(t)(q)ab dq+ J f (t)(q)ab^2dq q ñ0 ~3 q ñ0 R3
	ñ0

ab² ñ0

j

öijuⁱ fq₀f(t)(q)dq

R3

i f

FOiab²

=

ab2 j

ñ0 (u0 f g0 f(t)(q)dq - u^z f(t)(q)dq) - po ~Zjuⁱ q° f(t)(q)dq

3 3 3

i f

l ab2 qj

g0ágiâFáâ (u0 f 3 q0 f(t)(q)dq - uⁱ f(t)(q)dq) - po ö _f q° f(t)(q)dq

3 3

l / 9

giiFoi (u0 Jl[~ g0 f(t)(q)dq - ui J f (t)(q)dq) - ab poz'uz J~ q0 f(t)(q)dq

3 R3 3

on obtient ainsi (1.53).

En plus on a de (1.52) avec â = i :

u^áu^ë

ÿuⁱ = -Pⁱáë _u0

1

ñ0u0Fi ë (? 3 qëf(q~q)ab2 dq - u0 f

₃ f(t)(q)ab2dq)

1 /

N

1 O Fáëuaui J R3 q0 f(t)(q)ab2dq

Calcule de A, B et D où :

· A = -Piáë	u^áu^ë	uju^ë i ë i i i = ^-r^i - Pjë u0 = = --POiu -- POiu --2Poiu
	u0

donc A = -2Pⁱ_0iuⁱ (1)

ëë

· B = ñ0u0 Fi ë ( f q0 f(t)(q)ab²dq - u0R J 3 f(t)(q)ab2dq)

1

= ñ0u0Fi 0(f3 f(t)(q)ab²dq - f3 f dq)

+ ñ0u0 Fi j ( R3 q0 f(t)(q)ab²dq - u0 R3 f(t)(q)ab2dq)

( f3 q0 f(t)(q)dq - ₀f f (t)(q)dq)

_qj

u

( f3 q0 f(t)(q)dq - u0 f f(t)(q)dq)

u

g^iáF_ájab²

ñ0u⁰

ab²gⁱⁱFij ñ0u⁰

R3

R3

Mémoire de MASTER 58

MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

ab2giiöij qj ab²gⁱⁱöijuj

donc B = ñ0u0 f3 q0f(t)(q)dq ñ0(u0)2 f3 f(t)(q)dq (2)

Mémoire de MASTER 59

MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

3.2 Existence globale des solutions

1

ë

· D = ñ0u0 Fáëuáui R3 q0 f(t)(q)ab2dq

ab2 = ñ0u0 (F0ëu⁰ + Fjëuj)ui f3 q0 f(t)(q)dq

ab2F0ëui f 3 qA0 f(t)(q)dq + ab2ñ0u0jui ^f3 q0 f(t)(q)dq

ñ0

= ab2F0juiq

f ^q₀f(t)(q)dq + ab²Fj0 ab²F

0u~uz f Î(t)(q)dq + jk0ujui f

_of(t)(q)dq

ñ0 R3 q ñ0u R3 ñ0u JR3 q

ab^2gjjF^0ju^i	fj ab^2 F^0ju^iuj uiuj k 3 g0 f(t)(q)dq+ 9 p0u0 f3 f(t)(q)dq+ab2öjk ñ0u^0 fR3 q0 f(t)(q)dq
ñ0
ab^2gjjF^0ju^i donc D = - ñ0		f3 qj f(t)(q)dq+ab2gjjF0 uiuj R3 f(t)(q)dq ñ0u0

2 uiuj qk

+ ab ^öjkñ0u⁰ JR3 _q0f(t)(q)dq (3)

De (1), (2), (3) et du fait que ÿuⁱ = A - B - D, on obtient (1.54).

Mémoire de MASTER 60 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.