La gestion des risques obligataires. Cas de Médiafinance

Section 2 : Détermination de la VAR d'un portefeuille obligataire

La VAR résulte de la volonté d'agréger en un seul nombre la totalité des pertes potentielles d'un portefeuille composé de positions multiples et complexes. Il s'agit de construire une mesure unique et synthétique du risque de valeur d'un portefeuille.

1- Définition :

La Value at Risk ( VAR) représente la perte potentielle maximale d'un investisseur sur la valeur d'un actif ou d'un portefeuille d'actifs financiers compte tenu d'un horizon de détention et d'un intervalle de confiance. Elle se calcule à partir d'un échantillon de données historiques ou se déduit des lois statistiques habituelles.

VAR% = facteur de probabilité * volatilité en % * horizon

Avec :

Facteur de probabilité : terme issu de la table de la loi normale qui correspond au % d'éventualités défavorables que l'on considère : 2,33 pour 1%, 1,65 pour 5%,...

Horizon : durée de temps en fraction d'année, soit pour un mois (1/12)

2- caractéristiques :

La VAR d'un portefeuille dépend essentiellement de 3 paramètres :

· la distribution des résultats des portefeuilles. Souvent cette distribution est supposée normale, mais beaucoup d'acteurs financiers utilisent des distributions historiques. Dans ce sens, les prépositions de Bâle II proposent l'utilisation d'au moins une année de données historiques ;

· le niveau de confiance choisi, 95% en général ou 99% selon les prépositions de Bâle II. C'est la probabilité que les pertes éventuelles du portefeuille ou de l'actif ne dépassent pas la Value at Risk, par définition;

· l'horizon temporel choisi. Ce paramètre est très important car plus l'horizon est long plus les pertes peuvent être importantes. Selon les prépositions de Bâle II, il faut retenir dix jours ouvrables soit 2 semaines.

D'une manière générale, la VAR donne une estimation des pertes qui ne devrait pas être dépassée sauf événement extrême sur un portefeuille pouvant être composé de différentes classes d'actifs.

3- Méthodes de calcul :

On dénombre trois grandes classes de méthodes de calcul de la VAR :

a- Les Méthodes Paramétriques :

La détermination de la VAR paramétrique se fait au moyen d'un calcul analytique relativement aisé en pratique mais sous des hypothèses théoriques assez contraignantes. L'exemple le plus connu d'un tel modèle étant sans doute RiskMetrics. Les principales hypothèses simplificatrices consistent à supposer, d'une part, que les lois de probabilité qui régissent les distributions des variations des prix de marché sont normales et, d'autre part, que les instruments présentent un profil de risque linéaire. Sous ces hypothèses, la matrice de variances/covariances peut être appliquée assez directement aux positions détenues pour calculer la VAR. Les calculs utilisés dans la méthode RiskMetrics, développée par JP Morgan, sont rapides et simples, et requièrent uniquement la connaissance de la matrice des variances/covariances des rendements du portefeuille. Néanmoins, cette méthode s'avère être inadaptée aux portefeuilles non linéaires (instruments optionnels), et théoriquement peu adaptée aux queues de distribution épaisses et aux distributions non normales des rendements.

Enfin, figurent parmi les méthodes paramétriques l'ensemble des méthodes de calcul et de prévision de la VAR fondées sur des modèles GARCH univariés ou multivariés (Engle, 2001). Ces modèles permettent de modéliser et de prévoir la variance conditionnelle de la distribution de pertes et profits, ce qui permet dans un second temps d'en déduire une modélisation ou une prévision de la Value-at-Risk sous un certain nombre d'hypothèses sur la distribution conditionnelle des rendements.

b- Les Méthodes Semi-Paramétriques :

Ø Théorie des Valeurs Extrêmes

Parmi les méthodes semi-paramétriques figurent tout d'abord l'ensemble des méthodes et approches qui relèvent de la théorie des extrêmes (EVT) qui diffère de la théorie statistique habituelle fondée pour l'essentiel sur des raisonnements de type «tendance centrale». Les extrêmes sont en effet gouvernés par des théorèmes spécifiques qui permettent d'établir sous différentes hypothèses la distribution suivie par ces extrêmes. Il existe deux principales branches de la théorie des valeurs extrêmes : la théorie des valeurs extrêmes généralisée et la loi de Pareto généralisée (ou l'approche POT - «peaks-over-threshold»). L'approche POT permet l'étude de la distribution des pertes excessives au dessus d'un seuil (élevé), tandis que la théorie des valeurs extrêmes généralisée permet de modéliser le maximum ou le minimum d'un très grand échantillon.

Ø L'approche par régression sur quantiles - CAViaR

Une seconde grande catégorie de méthodes semi-paramétriques utilisées actuellement pour le calcul et la prévision de la Value-at-Risk relève plus généralement de l'approche de la régression quantile. L'idée est la suivante : plutôt que de modéliser une distribution et d'en déduire un quantile (la Value-at-Risk), cette approche consiste à modéliser directement le quantile lui-même en utilisant des méthodes de régression quantile. Un exemple de ces méthodes est le modèle Conditional Autoregressive Value at Risk (CAViaR) de Engle et Manganelli (2004), qui spécifie comment la dynamique autorégressive pour le quantile conditionnel.

c- Les Méthodes Non Paramétriques :

Ø Historical Simulation (HS)

La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) est une méthode très simple d'estimation des mesures de risque fondée sur la distribution empirique des données historiques de rendements. Formellement, la VAR-HS est estimée simplement par lecture directe des fractiles empiriques des rendements passés. Si l'on considère par exemple un niveau de confiance de 95% et que l'on dispose d'un échantillon de 1000 observations historiques de rendements, la VAR-HS est donnée par la valeur du rendement qui correspond à la 50ème forte de perte.

Ø La méthode de Monte Carlo 

La méthode de Monte Carlo consiste à simuler un grand nombre de fois les comportements futurs possibles des facteurs de risque selon un certain nombre d'hypothèses, et d'en déduire une distribution des pertes et profits à partir de laquelle on estime finalement un fractile. Si cette approche peut s'appliquer, en théorie, quelles que soient les lois de probabilité suivies par les facteurs de risque, elle est couramment utilisée en pratique, pour des raisons techniques, en supposant que les variations relatives des paramètres de marché suivent des lois normales. Cette méthode convient également à tous les types d'instruments, y compris optionnels, et permet de tester de nombreux scénarios et d'y inclure explicitement des queues de distribution épaisses (événements extrêmes pris en compte dans une certaine mesure).

Dans la pratique, trois méthodes de calculs sont les plus répandues :

- la méthode paramétrique (analytique) : variance-covariance ;

- la méthode historique : VAR-HS ;

- la méthode Monte Carlo.