1.1.1.2 Procédure de test
Supposons que la variable {yit} est génerée par
l'un des trois modèles suivants
:
Modéle 1: Ayit = ä yi,t-1 + åit
Modéle 2: ?yit = á0i + äyi,t-1 + åit
Modéle 3: ?yit = á0i + á1it + äyi,t-1 +
åit
oil --2 ? ä 1 0 pour i = 1 N et pour t = 1 T
Le processus åit est indépendament
distribué entre les individus selon MA
|
(00) inversible: åit =
|
P8
j=1
|
èij åi,t-j + uit
|
pour tout i = 1 N et t = 1 T
|
E( å4it) < 00 ;
E(u2it) ° Bu > 0 et E( å2 it) +2
|
P8
j=1
|
E(åit åi,t-j) < Bå < 00
|
Dans le modèle 1 la procédure de test de racine
unitaire sur panel examine l'hypothèse nulle H0 : ä = 0 contre
l'alternative Ha : ä < 0 Dans le modéle 2, la
série {yit} a une constante spécifique individuelle mais sans
tendance temporelle et dans ce cas la procédure de test de racine
unitaire sur panel examine l'hypothèse nulle H0: ä = 0 et
á0i = 0 Vi contre Ha : ä < 0 et á0i E
R. Finalement pour le modéle 3 la série {yit} a une
constante et tendance temporelle, dans ce cas, la procédure de test
examineH0: ä = 0 et á1i = 0 Vi contre Ha : ä < 0
et á1i E R
Comme dans le cas de série temporelle si la
série présente une constante et /ou tendance mais non inclut dans
la spécification, céla réduit la puissance statistique de
test, pour simplifier la notation, dmt et ámi sont utilisés pour
indiquer le vecteur des variables déterministes et celui de coefficients
associées.
avec m = 1, 2, 3
|
2 óui
|
=
|
1 T -pi-1
|
T
t=pi+2
|
(àeit --
àäiàvi,t-1)2
|
L'écriture ADF des modéles 1,2 et 3 est la
suivante:
Pi
?yit = äyi,t-1 + èil?yi,t-L +
ámidmt + uit (3.1)
L=1
oil d1t = o, d2t = {1} et d3t = {1,t}.
Les auteurs proposent une procédure en trois étapes
à fin d'implimenter leurs test.
Étape 1: régression ADF et résidus
orthogonalisés Pour chaque indi-
vidu, la régression ADF est appliquée,
Pi
?yit = äiyi,t-1 + èil?yi,t-L +
ámidmt + uit o`u m = 1, 2, 3 (3.2)
L=1
Il est permis à Pide varier entre les individus. Les
auteurs ont adopté la méthode Pmax proposée par
HALL [1990]. Il s'agit de tester la signiÞcativité statistique du
dernier àèil pour séléctionner le nombre
de retard optimal.
une fois le retard Pi est sélectionné pour chaque
individu,on régresse ?yit et yi,t-1 sur
?yi,t-L (L = 1 Pi) et on récupère les résidus
de ces régressions :
Pi
àeit = ?yi t -- àðiL?yi,t-L
àámidmt
L=1
Pi
ikt-1 = yi,t-1 E ðiL?yi,t-L
ámidmt L=1
Pour contrôler l'hétérogéneité
entre les individus, on normalise ces deux résidus par rapport à
l'écart type de résidus de l'équation (1.2) , soit
àóui
àeit àóui
eit =
et 'bi,t-1 = oil àóui peut être
calculée à partir de la régression de
"dui
àeit sur àvi,t-1.
Étape 2: Estimation de la ratio de la variance: Sous
l'hypothèse nulle
(H0) de racine unitaire la variance de long terme pour le
modèle (1.2) peut s'estimer comme suit:
|
àó 2 = 1
yi T-1
|
PT
t=1
|
?2yi t + 2.
|
PK
L=1
|
w [ 1 KL LT-1
|
PT
t=2+L
|
?yi t?yi,t-L]
|
Pour le modèle (2) on remplace ?yi t par (?yi t -
E?yi t ). Si la série inclut une tendance temporelle (m = 3)
alors, la série doit être corrigée de la tendance avant
l'estimation de la variance de long terme. Les auteurs appliquent la
procédure d'Andrews[1991] pour déterminer K.La
pondération w KL depend du choix de K ainsi w = 1
L
K L k+1
Maintenant pour chaque individu i le ratio de la variance de long
terme par rapport au variance des innovations est;
|
si = yi qu'on l'estime par: =
åi åi
Le moyen de la ratio de variance est: SN = N 1
|
PN
i=1
|
si et qu'on l'estime par
|
|
1
N = N
|
PN
i=1
|
àsi.
|
Cette spéciÞcation sera utilisée dans
l'étape 3,notammant dans l'équation (1.3) pour ajuster
l'ésperance de la t-statistique.
Étape 3: Calcul de statistique de test sur panel; On
empile toutes les
observations relatives aux individus pour estimer:
eit = ä vi,t-1 + uit
3 N × Test le nombre totale de données oil T = T -
pE -1 et pE= 1 P pi
N
i=1
.
La statistique conventionnelle pour tester ä = 0 est
donnée par ;
äà
tä = àóàä
PT
t=2+pi
PN
i=1
äà =
T
X (eit -
àävi,t-1)2
vi,t-1eit
i=1 PN
1
2
t=2+pi
PT vz,t-1
2
·
àóàä =
" N TXXàóå v2 i,t-1
i=1
t=2+pi
N
óå
=
2 N x 1 T i=1 t=2+pi
Sous H0 : ä = 0 .Les auteurs montrent que la
t-statistique (tä) a une distribution asymptotique normale centrée
réduite pour le modèle 1, mais diverge vers moins l'inÞni
en ce qui concerne les modéles 2 et 3. Toutefois pour corriger cette
divergence il convient de calculer la t-statistique ajustée de la
manière suivante:
|
t* ä=
|
tä - N x T x àSN x o-i
2 x std(ä) x u*mT
|
T , N -?8N(0; 1)avec v T ? 0
|
|
ó* m T
|
(3.3)
u* mT et ó*m T servent à ajuster
respectivement la moyenne et l'écart type de tä .Leurs valeurs ont
été simulées par les auteurs et reportées au
tableau 2 de leur papier (voir Levine, lin et chu [2002][35]).
L'hypothèse nulle est rejetée pour une
réalisation de la statistique corrigée t*ä
inférieure au seuil de la loi normale centre réduite (-1, 64)
pour un test non symétrique à 5% risque de prmière
espèce), ainsi l'hypothèse de racine unitaire est rejetée
pour l'ensemble des individus de panel. C'est en fait la limite principale de
test LLC [2002].
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