Une introduction aux systèmes de lois de conservation

1.3 Solutions faibles ou généralisées

Courbes de choc-Condition de Rankine-Hu_goniot

Il faut donc considérer (comme il est classi_que en E.D.P), une autre notion de solution pour (1.1), _qui permette d'obtenir l'existence d'une solution sur ]0, oc[xR tout entier et non pas uni_quement pour des temps petits.

Soit à résoudre le problème de Cauch_y suivant :

{ ut + f (u (t, x))_x = 0 dans (0, oc) x R

(1.3) u(0,x)=u0(x) sur {t=0}xR

Posons

C'° c = C'° c ((0, oc) x R) = {?: (0, oc) x R ?Rⁿ ré_gulière tel _que support ? compact } L'idée ici est d'utiliser le principe des fonctions-test on prend une fonction ré_gulière, on multiplie l'é_quation par cette dernière puis on intè_gre par partie.

Définition 1.1. u E L'^° ((0, oc) x R; Rⁿ) est une solution faible du problème (1.3) si u vérifie l'é_galité :

_{f f f}

(1.4) (u?t + f (u) ?_x) dxdt + u0 (x) ? (0, x) dx = 0

0 R R

'°

avec ? E C'° c .

Remar_que 1.2. Si u est une solution classi_que (ré_gulière) de (1.3), alors en multipliant la première é_quation de (1.3) par ? et inté_grant par parties, on obtient (1.4) .Mais (1.4) n'a de sens _que si u et f(u) sont localement inté_grables.

Soit la situation où nous avons une solution faible de (1.3) _qui est assez ré_gulière sur l'un ou l'autre côté de la courbe C le lon_g de la_quelle u a un saut de discontinuité. Plus précisement, supposons un domaine V C (0, oc) x R tel _que V = V _g U Vd et V _g n Vd = C. En supposant u assez ré_gulière dans V_g avec pour condition initiale u_g = u0/Vg , et choisissant la fonction ? tel _que support ? compact dans V_g, alors on déduit de (1.4) _que :

(1.5) ut+f(u)_x =0dansV_g

De même on a, ut + f (u) x = 0 dans Vd à condition _que u soit assez ré_gulière dans Vd, a_yant pour condition initiale ud et support ? compact dans Vd .

A présent, choisissons la fonction test ? tel _que support ? compact dans V et _qui ne s'annule pas forcement le lon_g de la courbe C. Alors en utilisant (1.4), on obtient :

0=

f '° f 0 R

(u?t + f (u) ?x) dxdt

_{ff ff}

(1.6) = (u?t + f (u) ?_x) dxdt + (u?t + f (u) ?_x) dxdt

V_g Vd

Comme support ? compact dans V, on déduit :

(u(pt f (u) (px) dxdt = _

_g(ut f (u)_x)(pdxdt

_{vg v}

Z(u_gv² + f (u_g) v¹) ?dl

+

C

(1.7)

ZZ(u(pt f (u) = (usv^2 + f (ug) cpdl Vg

d'après (1.5) où v = (v^1,v²) est la normale unitaire à la courbe C diri_gée de V_g vers Vd.De même on a :

(1.8) (u?t + f (u)?_x) dxdt = - L(udv²+f (ud) v¹) ?dl

Vd Additionnant (1.7) et (1.8), en utilisant (1.6), on a :

ZC

[(f (u_g) - f (ud)) v¹ + (u_g - ud) v²] ?dl = 0 pour toute fonction ré_gulière ? . Ainsi :

(1.9) (f (u_g) - f (ud)) v¹ + (ud --- u_g) v² = 0

le lon_g de C Supposant C paramétrée par {(t, x) / x = s (t)} pour toute fonction ré_gulière s (.) : [0, +8) ? R. Alors

v = (v1,v2) = (1 + ÿs^2)^--

1 ^2 (1, - ÿs) ,

où (sÿ = ^d_dt^s).(1.9) devient alors :

(1.10) (f (ud) - f (u_g)) = sÿ (ud - u_g)

dans V le lon_g de C

Remar_que 1.3. R1 : ud - u_g est appelé le saut de u à travers la courbe C, f (ud) - f (u_g) , le saut de f (u) et ó = sÿ la vitesse de la courbe C.

R2 : la droite d'é_quation x (t) = ót est appelée une courbe de choc

Définition 1.2. L'é_galité (f (ud) - f (u_g)) = ó (ud - u_g) est appelée condition de saut de Rankine-Hugoniot.

Question : A-t-on toujours unicité des solutions faibles?

Nous allons à travers un exemple montrer _que les solutions faibles ne sont pas toujours uni_ques.

Exemple 1.2.

1- En revenant à l'exemple 1.1 i), pour t = 1, en cherchant la solution sous forme "onde de choc", on a

r 1 si x<s(t)

u1 (t, x) = 0 si x > s (t) où s (t) = 1 + t

2

s (t) est la courbe de choc déterminée par la condition de Rankine-Hu_goniot.

( _u2 )

2- Soit l'é_quation de Bur_gers ut + = 0 avec pour condition initiale u0 définie par
2 x

{ --1 si x < 0

u0 (x) = 1 si x > 0 . Définissons la fonction u par :

{ --1 si x < 0

u (t, x) = 1 si x > 0 i.e u (t, x) = u0 (x) pour tout (t, x) E [0, oc) x R.

Alors u E L⁰⁰ ((0, oc) x R, R) et par calcul on a :

Z ₀₀ Z 0 Z 0 Z 00

(u?t + f (u) ?_x) dxdt + u0 (x) ? (0, x) dx = f (--1) ? (t, 0) dt

0 --00 --00 0

et

Z ₀₀ Z +00 Z +00 Z 00

(u?t + f (u) ?_x) dxdt + u0 (x) ? (0, x) dx = -- f (+1) ? (t, 0) dt

0 0 0 0

En sommant ces deux résultats, on constate _que u est solution faible puis_que f (+1) = f(--1)

3- Donnons encore un exemple avec le même flux f et la même condition initiale. On définit la fonction v E L⁰⁰ ((0, oc) x R, R) par :

?

??

??

--1 si x < --t

x

t

1 si t < x

si --t = x = t

v(t,x) =

(_v2

Dans le domaine --t < x < t,on a vt + 2

)= 0 et un calcul plus poussé permet de

montrer _que v est une solution faible. En effet, comme précédemment, on a :

x

Z ₀₀ Z --t Z --t Z 00

(v?t + f (v) ?_x) dxdt + v0 (x) ? (0, x) dx = f (--1) ? (t, --t) dt ,

0 --00 --00 0

Z ₀₀ Z t Z t Z 00

(v?t + f (v) ?_x) dxdt + v0 (x) ? (0, x) dx = f (1) (? (t, t) -- ? (t, --t)) dt

0 --t --t 0

et

Z ₀₀ Z 00 Z 00 Z 00

(v?t + f (v) ?_x) dxdt + v0 (x) ? (0, x) dx = -- f (1) ? (t, t) dt.

0 t t 0

D'où

Z ₀₀ Z +00 Z 00 Z 00

(v?t + f (v) ?_x) dxdt + v0 (x) ? (0, x) dx = f (--1) ? (t, --t) dt

0 --00 0 0

_{Z Z}

+ f (1) (? (t, t) - ? (t, -t)) dt - f (1) ? (t, t) dt = 0, car f (1) = f (-1) ,

0 0

et v est bien une solution faible (appelée"onde de raréfaction"). En donnant ces deux exemples, on a montré _qu'il peut avoir plusieurs solutions faibles. Cela ne correspond pas aux observations faites sur les modèles ph_ysi_ques dont la modélisation conduit à la première é_quation de (1.1) et cela n'est pas satisfaisant du point de vue mathémati_que.