Prédiction de l'interaction génotype à— environnement par linéarisation et régression PLS-mixte

2.3 La méthode AMMI

2.3.1 Le modèle

La méthode AMMI, Additive main effect and multiplicative interaction, a étéintroduite par Williams (1952) et reprise par Gollob (1968), puis par Mandel (1961, 1971) et par Bradu et Gabriel (1978). Elle fut développée a` l'origine pour les domaines du social et de la physique et son application a` la recherche agricole a étéproposée par Kempton (1984) et Zobel, Wright et Gauch (1988). Mais il faut attendre Gauch (1992) pour qu'elle devienne répandue. C'est une méthode assez générale et Gauch et Zobel (1996) ont soulignéque son champ d'application potentiel va au delàde l'étude

des méthodes d'interactions GxE. Beaucoup d'autres auteurs ont ^étudiéles interactions GxE a` l'aide de cette méthode :Vargas, Crossa, van Eeu-

wijk, Ram`ýrez et Sayre (1999), Yan et Hunt (2001), Ebdon et Gauch (2002a, 2002b), Gonz'alez, Crossa et Cornelius (2003a, 2003b), Gauch (2006).

La méthode AMMI associe l'analyse de variance et l'analyse en composantes principales (ACP). Sont d'abord estimés les effets principaux des variétés et des environnements par une analyse de variance du modèle additif, c'est-àdire du modèle sans les interactions GxE. Ensuite, la partie non additive du modèle est étudiée par une analyse en composantes principales (Crossa, 1990).

L'interaction est décrite de cette façon

(gE)ij = è1á1iâ1j + _è2á2iâ2j + + èháhiâhj

c'est a` dire

Yij = m + gi + Ej + ( _Xh èkákiâkj) + eij

k=1

o`u èk est la valeur singulière du k^e axe (è2 _k 'etant la valeur propre), _áki est le vecteur propre du i^e g'enotype pour le k^e axe, _âkj est le vecteur propre du je environnement pour le k^e axe et avec les contraintes

_X Xá2 ki = Xâ2 kj = 1 et Xákiák^'i = âkjâk^'j = 0

i j i j

Les paramètres du terme d'interaction sont donc estim'es par d'ecomposition en valeur singulière (DVS) de la matrice des r'esidus obtenus après ajustement des deux effets principaux.

Le nombre h de paramètres pour chaque terme multiplicatif de l'interaction qui constitue le nombre d'axes principaux peut être d'etermin'e soit par validation crois'ee (Gauch et Zobel, 1988; Crossa, 1990, Piepho, 1994) o`u les r'ep'etitions sont tour a` tour retir'ees et non les lieux, soit par des tests statistiques (Gollob, 1968; Cornelius, 1993; Piepho, 1995).

Le nombre d'axes principaux retenu est g'en'eralement compris entre z'ero, on parle dans ce cas de AMMI-0 c'est-à-dire du modèle additif et le minimum entre (I - 1) et (J - 1), o`u I constitue le nombre de g'enotypes et J le nombre d'environnements. Le modèle complet (AMMI-F, F faisant r'ef'erence a` full pour full model), avec tous les axes principaux, fournit une estimation parfaite. Mais g'en'eralement, lorsque les interactions G×E sont significatives, les modèles avec un (AMMI-1) ou deux (AMMI-2) axes principaux sont les plus utilis'es a` cause de leur simplicit'e.

Les tests statistiques propos'es pour d'eterminer le nombre optimal d'axes sont tous fond'es sur la statistique t² _k/s² o`u t2 k est l'estimation de la valeur singulière èk obtenue par DVS et s², avec f degr'es de libert'e, est le carr'e moyen des r'esidus du modèle additif divis'e par le nombre de r'ep'etitions par environnement (Piepho, 1995).

Sous l'hypothèse nulle (H0 : èk = 0), les statistiques de tests sont les suivantes :

1. t²_k/s² suit une loi de Fisher a` (J +I-1-2k) et f degrés de liberté(Gollob, 1968)

2. FGH1 = gt²_k/h1fs² suit une loi de Fisher avec h1 et g degrés de liberté, o`u h1 = 2v1u1/v2, g = 2 + 2(f - 2)v1/v2, v1 = u²2 + u²1 + (f - 4)u1 et

v2 = (f - 2)u²₂ + 2u²₁ (Cornelius, 1993) ; u1 et u2 sont des approximations fournies par Cornelius (1980).

3. FGH2 = t²_k/u1s² est distribuée selon la loi de Fisher avec h2 et f degrés de liberté, o`u h2 = 2u²1/u²2 (Cornelius, 1993).

En outre, une statistique de test FR, plus simple a` calculer, a étéproposée par Cornelius et al. (1992). Ce test utilise la somme des carrés résiduels après ajustement du modèle AMMI avec q axes principaux. Sachant que sous l'hypothèse nulle, la somme de carrés résiduels est approximativement une variable de chi-deux, la statistique suivante FR

[ FR = E E(Yij - Yi. - Y.j + Y..)^2 - i j

X q k=1

?t^2 ? /f2s^2 k

suit une distribution de Fisher avec f2 = (J - 1 - q)(I - 1 - q) et f degrés de liberté. La statistique FR significative révèle qu'il y a au moins un axe principal supplémentaire a` prendre en compte en plus des q déjàutilisés.

Dans le cas des essais multienvironnements, il est supposéque les erreurs du modèle sont indépendantes et normalement distribuées avec des variances entre les environnements homogènes. Même si l'indépendance des erreurs peut être assurée par une randomisation des niveaux des facteurs et que les erreurs peuvent être considérées comme gaussiennes, les variances résiduelles sont généralement hétérogènes d'un environnement a` l'autre au Sahel. Or, en présence d'erreurs expérimentales hétérogènes, Piepho(1995) a montréque la statistique de test FR est plus robuste que FGH1, FGH2 et celle de Gollob.