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Notion de système formel. Prolégomènes à  une logique cognitiviste à  partir de Donald Davidson

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par Tamis Muamba Ngueshe
Université de Kinshasa - Licence 2010
  

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1. Les axiomes

AX1. (pvq)? p

AX2. p? (pvq)

AX3. (pvq)? (qvp)

AX4. (pvq)? (rvp) ? (rvq)

AX5. p? p

AX6. (p?q)? (p?q)

AX7. S p? p

AX6. S (p?q)? (Sp?Sq)

2. Les definitions

Déf.1: p?q = df pvq

Déf.2: pËq = df (pvq)

Déf.3: (pq) = df.(p?q)Ë(q?p)

= df. ( ( pvq)v ( qvp))

Déf.4: p= df. p

Déf.5: -3=déf. (?)

Déf.6: = = déf ( -3)Ë (-3)

Déf.7: Sp = p

Déf.8: Sp = p

3. Règles de deduction

R.D1. les axiomes sont des thèses, c'est-à-dire on peut évoquer n'importe quel axiome pour opérer une déduction.

R.D2. Si A définit B, alors : A ? B ;

B? A ;

A B ;

BA .

R.D.3 : Si (A B) et A, alors B ( règle de détachement) ;

R.D.4. Si A et que B est un élément de A, on peut remplacer de manière uniforme A par B et la thèse restera intacte (substitution uniforme) ;

R.D.5 : Si alors

R.D.6 : Si ( ? ) alors (?)

R.D. 7 : Si ( ) alors ()

R.D.8 : Si ( ? ) alors (?)

R.D. 9 : Si alors S

R.D.  10 : Si ( ? ) alors (S?S)

R.D.11 :il n'y a pas d'autres thèses que celles qui répondent aux règles R.D.1,R.D.2,R.D.3,R.D.4,R.D.5,R.D.6,R.D.7,R.D.8,R.D.9,R.D.10.

4. Règles secondaires

RSa : si (A?B)

Et (B?C)

Alors (A?C)

RSb : Si A

Et B

Alors (A?B)

RSc : Si A

Et B

Alors (A Ë B)

RSd : on peut remplacer le défini par le définissant et vice versa (substitutionnalité des équivalences ou des définitions)

Nous pouvons maintenant évaluer l'expression :

S(p?q)^q?p

Par la méthode axiomatique à l'aide du système C1 tel que défini ci-haut.

Théorème : S(p?q)^q?p

1. (pvp) ? p Ax1

2. (p? p) ?p 1, implication matérielle

3. ((pvp) ?p) ?p 2, substitution de p/pvp

4. (pvp) ? p AX1

5. p détachement de 3 et 4

6. p? (pvq) Ax2

7. pvq détachement de 6 et 5

8. p ?q 7, implication matérielle

9. (pvq) ? (qvp) Ax3

10. (p ?q) ? (q ?p) 9, implication matérielle

11. (p ?q) ? (p ?q) 10, substitution de q/p et p/q

12. p?q détachement de 11 et 8

13. q détachement de 12 et 5

14. q 5, substitution de p/q

15. p 13, substitution de q/p

16. (p q) Ëq RSc 12 et 14

17. (p >q) Ëq) ? p RSb 17 et 15

18. S (p ?q) Ëq) ? p R.D.9

C.Q.F.D

A supposer que l'énoncé « si l'univers a un centre, alors il a une circonférence. Or, il n'a pas de circonférence, donc il n'a pas de centre » soit prononcé par un homme un peu fou qui ne comprend rien de ce qu'il affirme, alors la première condition n'allait pas être remplie.

Si, de surcroit, cet homme un peu fou est un pygmée chevronné dans la cueillette des fruits dans la foret équatoriale (condition de qualité), et que par enchantement, il l'exprime en français, lui qui n'a jamais été à l'école (la condition de compétence linguistique) et il le dit au moment où on lui pose des questions sur les techniques de cueillette des fruits, alors, en dépit de sa validité formelle, l'énoncé allait être tout de même non sincère.

Nous pouvons aussi rencontrer des énoncés qui satisfont aux conditions de sincérité mais qui sont invalide, de même nous pouvons aussi avoir des énoncés non sincères et invalides.

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