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Emergents spontanés d'une analyse praxéologique

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par Abderrazak Chaouachi
Université de Tunis - Mastère de didactique des mathématiques 2009
  

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III-3.2.Description du chapitre « Initiations aux graphes » 

Le chapitre « Initiation aux graphes » est, à l'instar des autres chapitres, organisé en cinq rubriques:

-Pour commencer.

-Cours :

v Notion de graphe.

v Représentation d'une situation à l'aide d'un graphe.

v Lemme de poignées de mains.

v circulation sur un graphe.

v Coloriage d'un graphe.

v Recherche d'une plus courte chaîne.

-Utilisation des TIC.

-Exercices et problèmes.

-Math culture.

Nous allons décrire, une à une, toutes ces rubriques :

o La rubrique « Pour commencer » :

Elle est composée de cinq activités qui motivent certes l'élève à s'intéresser aux graphes mais ne traitent en aucun cas les connaissances antérieures indispensables à l'élève comme annoncé par les auteurs dans la préface à la page 2 du livre. En fait, dans cette page, les auteurs indiquent que « dans cette rubrique sont proposées des activités dans l'intention de faire le point sur les connaissances antérieures indispensables à l'élève pour aborder un nouveau chapitre ». A notre avis, les raisons de cette absence de traitement des connaissances antérieures sont :

- La théorie des graphes est introduite pour la première fois dans le cursus scolaire de l'élève et, en conséquence, on ne demande pas à un élève de mobiliser des connaissances antérieures à propos de cette théorie.

- L'objet du chapitre est une simple initiation aux graphes sans aucune démonstration des théorèmes et, donc, il n'y a pas de pré-requis du même domaine pour ce chapitre.

Parmi les cinq activités proposées dans cette rubrique nous trouvons quatre activités qui introduisent la notion de coloration d'un graphe (ce sont les activités 1, 2, 4 et 5) et une activité qui évoque les graphes eulériens l'activité 3).

o La rubrique « cours » :

La sous rubrique :« Notion de graphe» :

Cette sous rubrique contient dix neuf activités dont cinq intitulées « exercices ». Les auteurs n'indiquent pas dans l'introduction les différences entre ce qu'ils appellent « activité » et ce qu'ils désignent par « exercice ». Cependant, nous avons noté que les activités traitent essentiellement des situations de la vie courante alors que les exercices (à l'exception de l'exercice du bas de la page 87), et qui ne devrait pas figurer dans cette rubrique, servent à approfondir une notion institutionnalisée. On observe, en outre, que l'activité 2 de la page 86 pose un problème d'existence de boucles : un verbe est conjugué au même temps que lui même. Or, les boucles ont une existence dans les graphes multiples, qui ne figurent pas au programme et pas dans les graphes simples, objets du programme de la troisième année économie et gestion.

La sous rubrique « coloration d'un graphe » :

Dans cette rubrique, on trouve huit activités dont un seul intitulé « exercice ». L'activité 1 de la page 91 est la plus importante du point de vue moments didactiques car, non seulement elle présente une situation de gestion de conflits, principale caractéristique des problèmes faisant recours à la modélisation et au coloriage des graphes, mais surtout elle introduit les éléments technologiques servant à sa résolution. En fait, si nous suivons la logique des séquences des questions nous allons constater qu'il s'agit des étapes à suivre pour réaliser la tâche annoncée au début par la phrase « on se propose de résoudre le problème P suivant : Quel est le nombre d'aquariums nécessaires ? ». Nous sommes, ainsi, en présence d'une activité servant au second moment didactique, c'est-à-dire celui de l'exploration du type de tâche et de l'élaboration d'une technique appropriée.

La sous rubrique « Recherche d'une plus courte chaine » :

Cette rubrique est composée de cinq activités. L'activité 3 de la page 95 est incontournable car elle explique, en fait, comment fonctionne l'algorithme de Moore-Djikstra. L'activité 1 introduit la notion de graphe pondéré. Il s'agit de trouver le plus court chemin entre Bizerte et Le Kef à partir du réseau routier entre cinq villes : Le Kef, Tabarka, Jendouba, Bizerte et Tunis. La seconde activité présente une situation où l'on cherche à minimiser la somme dépensée en péage dans réseau autoroutier. Dans l'activité 3, il est question d'illustrer le mécanisme de l'algorithme de Moore-Djikstra sur un cas de propagation d'un virus dans un réseau d'ordinateurs. L'activité 4 est une application de l'algorithme de Moore-Djikstra sur un cas d'un réseau routier. Dans l'activité 5, nous avons un autre cas d'application de l'algorithme de Moore-Djikstra sur la minimisation du cout de livraison d'un commerçant.

La rubrique « Utilisation des TIC » :

Dans cette rubrique, on trouve deux activités qui font suite à deux travaux pratiques (pages 104-106). Ces dernières sont une sorte de guide méthodologique de l'utilisation du logiciel en ligne gratuit Grin40. Ce logiciel permet de créer, modifier et faire un travail de recherche sur les caractéristiques d'un graphe orienté ou non, soit en manipulant les informations dans la feuille des données soit directement sur le graphe par un travail interactif sur écran. Il permet de résoudre les problèmes liés aux grands graphes (ayant jusqu'à 250 sommets), notamment: les cycles Eulériens et Hamiltoniens, la coloration, les plus cours chemins et les chemins critiques. En plus, le logiciel GRIN40 permet le passage aisé entre la matrice d'adjacence et le graphe, ce qui permet de contrôler les donner ou de les insérer dans un rapport. Ce logiciel gratuit est l'oeuvre de PETCHENKINE Vitaly (E-mail :pechv@mail.ru).

o La rubrique « Exercices et problèmes »:

Cette partie est composée de vingt sept exercices pouvant servir au travail des techniques, donc au cinquième moment didactique où il est question de travailler les techniques en vue de leur routinisation.

Ces exercices ne sont réparties ni par rubrique ni par ordre de difficulté.

o La rubrique « Math culture » :

Dans cette rubrique, On trouve un très bref aperçu historique de la théorie des graphes depuis Euler et certaines applications de cette théorie dans des domaines importants de la vie économique et sociale ainsi que dans d'autres domaines scientifiques.

Nous avons consigné, dans le tableau suivant, la ventilation des activités, les exercices et les travaux pratiques (TP) du chapitre « Initiation aux graphes » par rubrique ainsi que les éléments institutionnalisés. On peut observer qu'il y a trente quatre activités à la disposition de l'enseignant pour être utilisées en classe. Institutionnellement, il peut utiliser d'autres supports pédagogiques en complément ou à la place. Seulement, comme il est l'unique manuel officiel et que le programme officiel n'est pas explicite, il est difficile à un enseignant de s'en éloigner. D'où son importance.

Rubrique

Pages

Nombre

Eléments institutionnalisés

Activités

Exercices

TP

Pour commencer

83-84

5

-

-

-

Notion de graphe

85-91

14

5

-

Définitions : d'un graphe, sommet, arête, sommets adjacents, degré d'un sommet, sommet isolé.

Lemme des poignées de mains. Chaîne, longueur d'une chaîne, cycle, graphe connexe, chaîne eulérienne, cycle eulérien. Théorème d'Euler.

Coloriage d'un graphe

91-94

7

1

-

Définitions de : coloriage d'un graphe, nombre chromatique, nombre chromatique d'un graphe complet et d'un sous graphe. Encadrement du nombre chromatique. Algorithme de Walsh et Powell.

Recherche d'un plus court chemin

95-103

5

-

-

Définition de : graphe pondéré, poids d'une chaîne, plus courte chaîne.

Algorithme de Moore-Djikstra.

Utilisation des TIC

104-108

2

-

2

Utilisation d'un logiciel.

Exercices

109-112

-

27

-

 

Math culture

113

1

-

-

Appréciation des apports des mathématiciens.

Total

-

34

33

2

 

Tableau 6

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