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Emergents spontanés d'une analyse praxéologique

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par Abderrazak Chaouachi
Université de Tunis - Mastère de didactique des mathématiques 2009
  

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III-4.2.Synthèse des commentaires sur les praxéologies présentées 

Synthèse des blocs pratico- techniques 

Les blocs pratico- techniques présentés dans le paragraphe précédent montrent que les techniques utilisées sont en correspondance biunivoque avec les types de tâche. C'est la raison pour laquelle on va, pour des raisons de commodité de présentation des idées, on va désigner le bloc pratico- technique par le type de tâche qui lui est sous -jacente.

a-Typologie des tâches :

Les tâches proposées dans les activités du chapitre peuvent être répertoriés selon vingt quatre types de tâches :

T1 = « Exécuter une tâche naturalisée»

T2 = « Modéliser par un graphe »

T3 =  « Comparer des registres différents de présentation d'un graphe »

T4 = « Déterminer l'ordre d'un graphe »

T5 = « Déterminer le nombre d'arête d'un graphe donné »

T6 = « Déterminer le degré d'un sommet »

T7 = « Déterminer les sommets adjacents à un sommet »

T8 = « Trouver une chaîne reliant deux sommets»

T9 = « Montrer que le graphe est connexe »

T10 = « Montrer que le graphe est eulérien ou semi - eulérien »

T11 = « Trouver une chaîne eulérienne »

T12 = « trouver un cycle eulérien »

T13 = « Montrer que le graphe est complet »

T14 = « Montrer que deux graphes sont isomorphes »

T15 = « Traduire entre deux registres linguistiques/ostensifs»

T16 = « Utiliser un algorithme institutionnalisé »

T17 = « Colorier un graphe »

T18 = « Déterminer le nombre chromatique »

T19 = « Encadrer le nombre chromatique »

T20 = « Déterminer la plus courte chaîne entre deux sommets »

T21= « Utiliser le lemme des poignées de mains » 

T22 = « Montrer l'existence d'un objet mathématique »

T23 = « Trouver des sous graphes selon une caractéristique donnée »

T= Autres types de tâches.

Tableau 9

On peut observer déjà la très grande diversité (au moins on a 24) des types de tâche sollicitée dans un chapitre censé être une introduction à la théorie des graphes. Cette diversité excessive pourrait, à notre avis, s'avérer être incompatible avec le type de rapport personnel de l'élève de troisième économie et gestion avec la discipline (les mathématiques). Lequel rapport se caractérisant par une certaine démotivation et une estime de soi négative. En plus, même si l'élève recommence à prendre goût des mathématiques du fait de la nature particulièrement accrocheuse des activités proposées, cette diversité peut conduire à un état de surcharge cognitive.

b-Pénurie praxéologique et épaisseur ostensive :

Dans le tableau 10 ci-dessous, nous avons présenté les tâches analysées, les types de tâches qui lui sont associés, l'information concernant si la technique est routinière ou problématique et les registres d'ostensifs de la technique utilisée.

Activité

Question

Type de tâche T

Technique

Ostensifs

1 page 85

1

T1

Naturalisée

Graphique

2

T1

Routinière

Graphique, discursif

3

T3

Problématique

Graphique, discursif

4

T16

Problématique

Matériel, discursif, déictique

3 page 86

1

T2

Routinière

Scriptural, discursif, déictique

2/a

T2

Routinière

Graphique, discursif, déictique

2/b

T5

Routinière

Déictique, discursif

4 page 86

 

T14

Problématique

Déictique, discursif, scriptural

1 page 87

1/a

T6

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

1/b

T1

Routinière

Déictique, discursif

1/c

T5

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

2

TX

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

4 page 88

 

T19 + T18

T2

Routinière Problématique

Discursif, scriptural

Graphique, discursif

5 page 88

 

T19+T18

Routinière

Discursif, scriptural

1 page 88

1

T8

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

2

T8

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

3

T11

Problématique

Déictique, discursif, scriptural

4

T12

Problématique

Déictique, discursif, scriptural

2 page 89

 

T1

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

Exercice p 89

 

T9

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

3 page 89

 

T11

Problématique

Graphique, déictique, discursif, scriptural

1 page 91

1

T2

Routinière

Graphique, déictique, discursif

2

T15

Problématique

Déictique, discursif, scriptural

3

T17

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

4

T17

Problématique

Matériel, déictique, discursif

5

Tx+T15+T3

Problématique

Discursif, scriptural

2 page 92

 

T17 + T16

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

3 page 92

1/a

T17 + T16

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

1/b

T1

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

2

T22 + T17

Routinière

Matériel, déictique, discursif

4 page 93

1 et 2

T18

Routinière

Graphique, scriptural

3

T18 + TX

Problématique

Graphique, discursif, scriptural

5 page 93

1

T23 + T13

Routinière

Déictique, discursif, scriptural

2

T17

Problématique

Matériel, scriptural, discursif, déictique

6 page 93

 

T18 + T19

Routinière

Scriptural

7 page 93

1

T17

Routinière

Matériel, discursif, scriptural

2

T6 + T1

Routinière

Discursif, scriptural

Exercice p 94

1

T2

Routinière

Graphique, scriptural

2

T19

Routinière

Graphique, déictique, discursif, scriptural

3/a

T17

Routinière

Matériel, déictique, discursif

3/b

T18 + T3

Routinière

Discursif, scriptural

1 page 95

 

T20

Problématique

Discursif, scriptural

3 page 95

1

T1

Routinière

Scriptural

2/a

T1

Routinière

Scriptural

2/b

T1

Routinière

Scriptural

3

T1

Routinière

Scriptural

4

Tx

Routinière

Scriptural

5

T1

Routinière

Scriptural

6

Tx

Routinière

Scriptural

7

T19

Routinière

Scriptural

Tableau 10

Ce tableau appelle plusieurs remarques importantes :

1- Il y a 13 cas sur 51 de questions où il y a pénurie praxéologique, c'est-à-dire où l'élève ne dispose encore pas d'une technique lui permettant de réaliser la tâche demandée. 

2- On observe qu'il y a quasiment autant de tâches routinières qui utilisent trois registres d'ostensifs (18 cas) que de tâches routinières qui utilisent un ou deux registres d'ostensifs (19 cas).

3- Neufs tâches sur treize de tâches problématiques utilisent trois ou quatre registres d'ostensifs.

4- Toutes les tâches problématiques utilisent au moins deux registres d'ostensifs.

5- On observe que pour les techniques routinières comme pour les techniques non routinières il y a domination de trois types d'ostensifs : les ostensifs déictiques, les ostensifs discursifs et les ostensifs scripturaux.

Afin de rendre lisible le tableau précédent, nous avons, à partir du tableau 10, consigné, dans le tableau 11 ci-après, le nombre de tâches selon deux paramètres :

- L'existence ou non d'une pénurie praxéologique.

- Le nombre de registres d'ostensifs nécessaires pour la réalisation de la tâche en classe.

Epaisseur ostensive

(nombre de registres)

Tâche

Routinière14(*)

Problématique

1

10

0

2

9

4

3

18

7

4

1

2

5

0

0

Tableau 11

c-Typologie des tâches dans la rubrique « Exercices et problèmes » :

Dans le tableau 12 suivant, nous avons consigné, par type de tâche, les exercices qui font appel à ces types de tâches dans la rubrique « Exercices et problèmes » du manuel. Il fallait connaitre les intentions des auteurs du manuel scolaire quant aux notions, théorèmes et techniques sur lesquels ils invitent l'utilisateur du manuel à manifester le plus d'intérêt.

Type de tâche

Exercices

T1 = « Exécuter une tâche naturalisée»

 

T2 = « Modéliser par un graphe »

2 ; 6 ; 7 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 16 ; 17 ; 20 ; 22 ; 23 et 27

T3 = « Comparer des registres différents de présentation d'un graphe »

 

T4 = « Déterminer l'ordre d'un graphe »

3 ; 4 ; 5  et 7

T5 = « Déterminer le nombre d'arête d'un graphe donné »

2 ; 4  et 5

T6 = « Déterminer le degré d'un sommet »

2 et 3

T7 = « Déterminer les sommets adjacents à un sommet »

 

T8 = « Trouver une chaîne reliant deux sommets»

 

T9 = « Montrer que le graphe est connexe »

2 et 11

T10 = « Montrer que le graphe est eulérien ou semi - eulérien »

14 ; 15 ; 18 ; 19 ; 20 ; 21  et 22

T11 = « Trouver une chaîne eulérienne »

14 ; 15 et 18

T12 = « trouver un cycle eulérien »

19 ; 20 ; 21 et 22

T13 = « Montrer que le graphe est complet »

2 et 4

T14 = « Montrer que deux graphes sont isomorphes »

1

T15 = « Traduire entre deux registres linguistiques/ostensifs»

 

T16 = « Utiliser un algorithme institutionnalisé »

24

T17 = « Colorier un graphe »

6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 er 13

T18 = « Déterminer le nombre chromatique »

6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 er 13

T19 = « Encadrer le nombre chromatique »

8 et 9

T20 = « Déterminer la plus courte chaîne entre deux sommets »

23 ; 25 et 26

T21= « Utiliser le lemme des poignées de mains »

16 ; 17 et 27

T22 = « Montrer l'existence d'un objet mathématique »

 

T23 = « Trouver des sous graphes selon une caractéristique donnée »

 

Tableau 12

Nous observons que cette rubrique sollicite essentiellement : la modélisation d'un graphe, les graphes eulériens, le coloriage et la recherche de la plus courte chaine. Cette répartition nous semble assez cohérente avec le contenu de la rubrique « Cours » qui, justement, insiste tout particulièrement sur ces trois thèmes de la théorie des graphes.

* 14 Pouvant être naturalisée

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