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Emergents spontanés d'une analyse praxéologique

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par Abderrazak Chaouachi
Université de Tunis - Mastère de didactique des mathématiques 2009
  

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Synthèse des blocs technologico- théoriques 

Dans le tableau 13 ci- dessous nous avons indiqué, pour chaque question des activités analysées, le bloc technologico- théorique. L'examen de ce tableau permet de relever les remarques suivantes :

a- Au niveau de la technologie :

Pour justifier les techniques, les activités se réfèrent :

- aux définitions (de graphe non orienté, de graphe complet, de chaîne, de cycle, de chaîne eulérienne, de cycle eulérien, de la connexité, du nombre chromatique, etc.).

- aux théorèmes admis (théorème d'Euler, propriétés concernant l'encadrement du nombre chromatique, le lemme des poignées de mains, etc.).

- et aux algorithmes (de Walsh et Powell, de Moore et Djikstra).

b- Au niveau de la théorie :

le chapitre « Introduction aux graphes » :

- Fait rarement référence aux autres domaines de mathématiques (7 questions sur les 51 analysées).

- Utilise des activités à caractère empirique pour introduire une définition ou des activités traitant une situation contextualisée pour admettre un théorème par le jeu de l'altérité positive (l'élève fait confiance à l'enseignant qui assure que le résultat est mathématiquement correct) et des variations des registres ostensifs.

- Fait appel assez souvent à la modélisation, notamment la modélisation d'une situation par un graphe non orienté et qui pose des problèmes de démarche en l'absence d'une référence théorique. Ainsi, compte tenu de son importance dans le traitement des questions posées, nous avons observé que, généralement, le texte prend en charge le choix des sommets et le choix des arêtes (Activité 1 page 85; Activité 3 page 86; Activité 4 page 88; Activité 5 page 88; Activité 1 page 91; Exercice page 94).

- Fait rarement référence à la théorie des dénombrements alors que l'on sait que cette théorie fait appel, lorsqu'on veut expliquer le raisonnement, à des représentations par des graphes (arbres de choix ou autres). On remarque déjà la dialectique entre les deux théories.

- Fait référence, en ce qui concerne certaines activités, à l'algèbre : tableau de proportionnalité (Activité 1 page 87, question 2), encadrement du nombre chromatique (Activité 1 page 91, Question 5 ; Activité 5 page 93, Question 2 ; Exercice page 94).

- Fait appel une seule fois à l'arithmétique en ce qui concerne la parité du degré d'un sommet à la suite de l'utilisation du théorème des poignées de mains (Activité 5 page 88).

- S'appuie par occasions sur la logique :

ü Négation d'une proposition avec quantificateur universel qui exige la recherche d'un contre- exemple (tels que : la démonstration qu'un graphe n'est pas connexe ou que deux graphes sont isomorphes.).

ü Le nombre chromatique étant, par définition, le nombre de couleur minimum pour la coloration d'un graphe, il en résulte que toute coloration utilise un nombre de couleurs supérieur ou égal au nombre chromatique. Donc, l'existence d'une coloration à k couleurs implique une majoration du nombre chromatique.

ü La généralisation des cas traités en accordant une large place à l'intuition de l'élève et au jugement de l'enseignant (Activités 1 page 87 pour énoncer le lemme des poignées de mains ; Activité 3 page 89 pour énoncer le théorème d'Euler; Activités 1 et 3 page 95 pour énoncer l'algorithme de Moore - Djikstra).

Activité

Question

Type de tâche T

Technologie

Théorie

1 page 85

1

T1

Auto- technologique

-

2

T1

Auto- technologique

Relation binaire dans un ensemble

-

Théorie des ensembles

3

T3

Représentation graphique d'une relation

Preuve de fausseté d'une proposition

Théorie des ensembles.

Logique formelle

4

T16

Lemme de choix

Définition du coloriage d'un graphe

Théorie des ensembles

Théorie des graphes

3 page 86

1

T2

Représentation d'un graphe - liste d'adjacence

Définition d'un graphe complet

Théorie des graphes

Théorie des graphes

2/a

T2

Représentation d'un graphe

Théorie des graphes

2/b

T5

Définition du degré d'un sommet

Théorie des graphes

4 page 86

 

T14

Graphes isomorphes

Analyse descendante

Théorie des graphes

Logique formelle

1 page 87

1/a

T6

Définition du degré d'un sommet

Théorie des graphes

1/b

T1

Auto- technologique

Propriétés de l'addition dans IN

-

Addition dans IN

1/c

T5

Définition d'une arête

Théorie des graphes

2

TX

Degré d'un sommet

Fonction linéaire

Théorie des graphes

Algèbre linéaire

4 page 88

 

T19 + T18

T2

Lemme des poignées de mains

Représentation graphique

Théorie des graphes

Théorie des graphes

5 page 88

 

T19+T18

Représentation d'une situation par un graphe Lemme des poignées de mains,

Degré d'un sommet

Parité de la somme de deux entiers.

(Modélisation)15(*), théorie des graphes, Théorie des graphes

Arithmétique

1 page 88

1

T8

Définition d'une chaîne, graphe connexe

Théorie des graphes

2

T8

Définition d'une chaîne

Théorie des graphes

3

T11

Définition d'une chaîne semi- eulérienne

Théorie des graphes

4

T12

Définition d'une chaîne eulérienne

Théorie des graphes

2 page 89

 

T1

Combinaisons d'ordre 2

Dénombrements

Exer p89

 

T9

Définition d'une chaîne

Définition de la connexité

Nombre de paires dans un ensemble fini

Négation d'un prédicat à deux variables

Théorie des graphes

Théorie des graphes

Dénombrements

Logique formelle

3 page 89

 

T11

Théorème d'Euler

Théorie des graphes

1 page 91

1

T2

Représentation d'une situation

Définition d'un graphe

(Modélisation)

Théorie des graphes.

2

T15

Analyse sémantique et traduction

Définition d'un graphe

(Analyse sémantique)

Théorie des graphes

3

T17

Coloration de graphes complet

 

4

T17

Définition du nombre chromatique, encadrement du nombre chromatique.

Théorie des graphes

Théorie des graphes

5

Tx+T15+T3

Asymétrie de la relation « Inférieur ou égal »

Traduction entre deux registres

Définition du nombre chromatique

Propriétés de IN

(Analyse sémantique)

Théorie des graphes

2 page 92

 

T17 + T16

Algorithme de Walsh et Powell

Théorie des graphes

3 page 92

1/a

T17 + T16

Algorithme de Walsh et Powell

Théorie des graphes

1/b

T1

Auto- technologique

-

2

T22 + T17

Définition du coloriage d'un graphe

Théorie des graphes

4 page 93

1 et 2

T18

Définition du coloriage d'un graphe

Théorie des graphes

3

T18 + TX

Définition du coloriage d'un graphe

Théorie des graphes

5 page 93

1

T23 + T13

Définition de graphe complet, d'un sous graphe

Théorie des graphes

2

T17

Définition de graphe complet, d'un sous graphe et du coloriage d'un graphe

Théorie des graphes

6 page 93

 

T18 + T19

Définition du coloriage d'un graphe et d'un sous graphe

Théorie des graphes

7 page 93

1

T17

Définition de graphe complet, de sous graphe et de l'ordre d'un sous graphe

Théorie des graphes

2

T6 + T1

Liste d'adjacence et représentation graphique

Théorie des graphes

Exercice p 94

1

T2

Représentation d'une situation par un graphe

(Modélisation), théorie des graphes

2

T19

Minoration du nombre chromatique

Théorie des graphes

3/a

T17

Définition de graphe complet, de sous graphe et du coloriage d'un sous graphe

Théorie des graphes

3/b

T18 + T3

Définition du nombre chromatique

Condition suffisante

Théorie des graphes

Logique formelle

1 page 95

 

T20

Définition de graphe pondéré

Définition de la longueur d'une chaîne

Propriétés des chaînes minimales

Théorie des graphes

Théorie des graphes

Théorie des graphes

3 page 95

1,2,3,4,5

T1

Arborescence

Chaîne de longueur k

Chemin de longueur minimale

Théorie des graphes

Théorie des graphes

Théorie des graphes

6

Tx

Raisonnement par exhaustion

Logique formelle

7

T19

Auto- technologique

-

Tableau 13

Chapitre IV:

Conclusions 

* 15 Les parenthèses indiquent que l'objet en question est étranger à l'élève.

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