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Emergents spontanés d'une analyse praxéologique

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par Abderrazak Chaouachi
Université de Tunis - Mastère de didactique des mathématiques 2009
  

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Chapitre II : Cadre théorique

II-1. Aperçu historique

La théorie des graphes est née en 1736 avec la communication d'Euler dans laquelle il proposait une solution au célèbre problème des ponts de Königsberg.

Euler proposa le problème suivant : deux îles (A et B sur la figure ci-dessous) sur la rivière Pregel à Königsberg étaient reliées entre elles ainsi qu'aux rivages à l'aide de sept ponts. La question est : lors d'une promenade, est-il possible de passer sur tous les ponts de la ville une et une seule fois?

C

B

A

D

Euler introduisit deux nouveautés : d'abord il remarqua que ce problème peut être remplacé par celui consistant à tracer une figure géométrique sans lever le crayon et sans repasser plus d'une fois sur un même trait.

D

B

C

A

En plus, cette façon de présenter ce qui semblait, à cette époque, comme un casse-tête, et qui l'aida à expliquer la preuve que ce problème n'a pas de solution inaugure, en fait, une nouvelle technique de modélisation de situation.

Depuis cette date et jusqu'à la première moitié du dix neuvième siècle, on ne trouve pratiquement aucune trace de travaux faits par des mathématiciens sur ce type de sujet. En 1847, Kirchhoff (1824-1887) et un peu plus tard Cayley (1821-1895) développeront chacun de son côté la théorie des arbres. Möbius (1790-1868) présenta, dans l'un de ses cours en 1840, la conjecture des quatre couleurs qui affirme que quatre couleurs suffisent pour colorier n'importe quelle carte plane. Ce problème resta à l'état de conjecture jusqu'en 1976, année durant laquelle Appel et Haken présentèrent une preuve de ce théorème.

C'est surtout au vingtième siècle que l'on peut observer une sorte d'engouement des mathématiciens envers la théorie des graphes, engouement dû en grande partie aux problèmes, de plus en plus complexes posés par l'économie, le commerce, l'industrie et surtout par les problèmes d'organisation et de logistique. C'est à König(1936) que revient l'honneur d'écrire le premier ouvrage consacré entièrement à la théorie des graphes.

Claude BERGE (BERGE, 1967), dans son ouvrage « Théorie des graphes et ses applications » publié en 1958, donna à cette théorie une structure unifiée et abstraite rassemblant l'état des résultats épars des recherches jusqu'à cette date. Ce livre est encore, de nos jours, considéré comme une référence incontournable en matière de théorie des graphes. En 1959, l'informaticien néerlandais Edgser DIJKSTRA a proposé un algorithme qui permet de déterminer un plus court chemin entre deux sommets d'un graphe orienté et qui sert, entre autres, aux systèmes de navigation.

Depuis, la théorie des graphes est devenue un domaine à part entière des mathématiques au même titre que l'algèbre, la géométrie et l'analyse.

Nous nous proposons, dans la suite de présenter la théorie des graphes telle que présentée dans nos jours dans les publications destinées à la formation des enseignants du cycle secondaire.

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