I.2.3.1 Classification d'une fonction de transfert
Selon le besoin, une fonction de transfert peut se mettre sous
plusieurs formes. Pour connaitre si le système possède ou non une
ou plusieurs intégrations, on utilise la forme suivante :
Le terme est appelé classe de la fonction de transfert
du système.
· Si, le système ne comporte pas
d'intégration. Le système est dit autorégulant, auto
stable, naturellement stable, ou non évolutif. Le coefficient K est le
gain statique du système. On le note et son unité est celle du
rapport des unités de S sur E.
· Si, alors le système comporte une
intégration ( deux intégrations Mais rarement d'avantage. Le
système est dit intégrateur, naturellement instable ou
évolutif. L'unité de K est alors celle du rapport des
unités de S sur E, divisé par l'unité de temps, à
la puissance. On appel K le gain dynamique du système et on le note
k. (Prouvost, 2004)
Les qualités exigées, les plus
rencontrées industriellement sont qualifiés sous forme de
performances. Il s'agit de la stabilité, la précision et la
rapidité. Pour les systèmes asservis la loi d'évolution de
la consigne en temps, est à décrire avec attention mais le
résultat sera décrit par les trois premières cités
ci-dessus :
I.2.4. Etude des performances des systèmes asservis
Les qualités des systèmes asservis
cités aux paragraphes précédents, sont là les
performances des systèmes asservis. En fait, ces dernières sont
souvent évaluer, en fonction des seuils bien définis pour chaque
système dans un cahier de charge, nous allons faire étude de
quatre performances à savoir :
- La précision, la stabilité, la
rapidité ainsi que la limitation du dépassement max.
I.2.4.1. La précision du système
Il est naturel d'évaluer la précision d'un
système asservi en comparant l'objectif atteint par rapport à
celui exigé. La précision d'un système asservi se mesure
donc à l'écart ou l'erreur entre la consigne demandée et
la mesure en régime permanent. On parle alors de la précision
statique.
Plus l'écart statique est petit, plus le système
est précis. L'évaluation de la précision statique
s'effectue en réalisant une variation rapide de consigne en amplitude et
en mesurant la variation d'amplitude finalement obtenue de la mesure.
(Prouvost, 2004)
Figure
I.14 précision statique d'un système asservi
Observons les mesures obtenues suite à un changement de
consigne de 10 unités pour un même procédé mais
régulé avec deux réglages différents de
régulateur.
- A la courbe 1 le système se stabilise à 9
unités. L'écart absolu constant est une unité.
L'écart relatif, qui est l'écart absolu divisé par la
valeur de la consigne est alors de 10%
- A la courbe 2 le système se stabilise à 7
unités. L'écart absolu est constaté de 3 unités.
L'écart
Qu'il s'agisse d'un système régulé ou
d'un système asservi. On parle de la précision sous deux formes.
La précision statique et dynamique.
La précision statique évalue l'aptitude du
système à suivre différentes catégories de
sollicitation d'entrée. Il est à noter que cette précision
est théorique et ne se mesure que dans le régime statique ou
permanent du système. (Prouvost, 2004)
La précision dynamique est mesurée pendant le
régime transitoire essentiellement pour une sollicitation en
échelon de position. Si, la réponse échelon peut
être assimilée à celle d'un système du second ordre,
c'est la valeur du premier dépassement, par rapport à la valeur
finale, qui mesure le degré de précision dynamique. Cette
dernière est liée directement au degré de stabilité
du système. Ce critère de performance peut être
défini par les marges de phase et de gain. (Prouvost,
2004)
Figure I.15 Précision dynamique du système
Pour un système asservi, la précision statique
se caractérise par la différence en régime permanent entre
l'entrée ou la consigne fixée, et la sortie (la mesure
contrôlée). Cette différence s'appelle écart ou
erreur et se note généralement å.
Soit le système asservi ci-dessous :
Figure I.16 Système asservi
Déterminons cette erreur entre les deux signaux x(t) et
y(t) nous aurons :
Pour une entrée échelon, nous aurons que
D'où nous aurons :
En régime permanent c'est-à-dire pour un temps t
qui tend vers l'infini, nous pouvons calculer la valeur å à l'aide
du théorème de la valeur finale.
Cette erreur dépend de la nature de la sollicitation
à l'entrée. C'est-à-dire aux trois sortes d'entrées
correspondent aux trois expressions d'erreur. Erreur de position, erreur de
vitesse ou d'accélération.
a) Erreur de position
b) Erreur de vitesse
c) Erreur d'accélération
Calcul de l'erreur
Pour le calcul de å, il est intéressant de faire
apparaitre le nombre d'intégration dans la boucle directe, soit avec
K : constante, : le nombre d'intégration ou la
classe du système. Plus est grand, plus la précision est
meilleure. Le tout est condensé dans le tableau ci-dessous :
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Entrée
Nombre d'intégration
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Echelon de position
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Echelon de vitesse
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Echelon d'accélération
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Tableau I.1. Calcul d'erreur suivant chaque type d'entrée
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