Asservissement de vitesse d'une charge mécanique entrainée par un moteur a courant continu a excitation séparée constante

I.2.4.2. La stabilité du système asservi

Le tout premier rôle d'un asservissement est d'assurer la stabilité du système en boucle fermée. Car cela implique directement, la sécurité de l'installation. Un système est stable, si à une variation bornée, du signal d'entrée correspond une variation bornée du signal de sortie. Une variation d'un signal est dit bornée, lorsqu'elle est constante en régime permanent. (Prouvost, 2004)

Figure I. Courbes représentatives des systèmes stable, instable, et a la limite de stabilité

I.2.4.2.1. Condition de stabilité

Considérons un système en boucle fermée avec G(s) la fonction de transfert de la boucle de rétroaction et H(s) la fonction de transfert réglant et C(s) la fonction de transfert du correcteur. Nous avons :

Figure I.17 Système asservis corrigé

Nous pouvons exprimer la fonction de transfert en boucle fermée du système réglé ou corrigé nous aurons :

La nature du régime transitoire dépend des pôles du dénominateur de la fonction de transfert. Il est démontré que si tous les pôles du dénominateur sont tous à partie réelle négatifs, la réponse temporelle est convergente alors le système est dit stable. Si l'un des pôles est à partie réelle positive, le système est instable. (Prouvost, 2004)

En bref, comme condition, si tous les pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée, sont à partie réelle négatives.

I.2.4.2.2. Point critique de stabilité

Soit l'équation caractéristique d'un système asservi à retour unitaire

Ou ) +1=0 (I.24)

Avec W_c la pulsation d'oscillation pour un système dont le signal de sortie est sinusoïdale. L'équation caractéristique nous permet d'obtenir les conditions limites de stabilité.

Dans la courbe représentative des fonctions de transfert, le point singulier de module 1 et d'argument - est le appelé point critique de stabilité.

I.2.4.2.3. Critère de stabilité

I.2.4.2.4. Critère algébrique

a) Critères algébriques isochrone

Ce critère permet de déterminer si un système est stable ou non.

Considérons la fonction de transfert en boucle ouverte pour un système asservi à retour unitaire on écrit les conditions limites de stabilité.

- Condition d'amplitude :

- La condition de phase :

On détermine la pulsation à partir de la condition de phase. On calcule le gain critique G_c à l'aide de W_c et de la condition d'amplitude.

Le système en boucle fermée est stable si pour la pulsation critique W_c on a . Le système en boucle fermée est instable si pour la pulsation critique W_c, on a

b) Critères de Routh hurwitz

Considérons un système asservi de fonction de transfert avec comme dénominateur :

- Si l'un des coefficients a_i sont différents de zéro, il suffit qu'il ne soit pas tous de même signe pour conclure à l'instabilité

- Si tous les coefficients a_i sont de même signe, l'examen de la première colonne du tableau de Routh permet de conclure à la stabilité du système

On établit alors le tableau de Routh.

Poser	S^n S^n-1	a^n a^n-1	an-2 an-3	an-4 an-5
	s^n-2	A1	A2	A3
Calculer	s^n-3	B1	B2	B3
	....
	s²	M1	M2
	S'	N1	N2
	s°	O1

Tableau I.2. Tableau de Routh

Avec :

Routh a établit que le système est stable si tous les termes de la première colonne sont de même signe. Dans le cas contraire, le nombre de changement de signe, donne le nombre de pôles instables. (Prouvost, 2004)

I.2.4.2.5. Critère graphique

Ce critère permet de juger de la stabilité ou de l'instabilité d'un système asservi à partir de la courbe représentative de sa fonction de transfert en boucle ouverte

. On écrit simplement.

a) Règle du revers dans le plan de Nyquist

La règle est telle qu'un système asservi à retour unitaire est stable, si en décrivant le lieu de nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte, dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique de coordonnée (-1, 0) à sa gauche. Il est instable dans le cas contraire.

Figure I.18 lieu de nyquist, pour un système stable, est instable

b) Règle du revers dans le plan de Black

Un système asservi à retour unitaire est stable si en décrivant la courbe représentative de sa fonction de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique (0 dB, -180°) à sa droite. Il est instable dans le cas contraire.

Figure I.19 Lieu de black, pour un système stable et instable

c) Règle du revers dans le diagramme de Bode

Un système asservi à retour unitaire est stable, si pour la pulsation W_c, la courbe du logarithme du module de A(jw) passe en dessous du niveau 0 dB et instable dans le cas contraire.

Figure I.20 Diagramme de Bode pour un système stable et instable