Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration des tables de mortalité prospectives

A.1.c) Le taux instantané de mortalité

Etant donné un individu pris en observation à l'âge x et supposé vivant à l'époque t (c'est-à dire à l'âge x + t), la probabilité qu'il décède entre les dates t et t + ?t est :

P(t < T_x < t + ?t / T_x>t) = P(t < T_x < t + ?t) / P(T_x > t) = (p_x^t - p_x^t+?t) / p_x^t

En supposant la fonction p_x^t dérivable par rapport à t, on obtient alors,

p_x^t - p_x^t+?t=-(p_x^t)' / ?t

Or, p_x^t = l_x+t / l_x donc ( p_x^t )^' = l_x+t^' / l_x et p_x^t - p_x^t+?t = - l_x+t^' / (?t / l_x)

D'où /?t = - l_x+t^' / l_x+t

Cette limite est une fonction u_x+t que l'on appelle le taux instantané de mortalité à l'âge x + t. Pour un âge y, on a donc :

u_y = -l_y^' / l_y =

Inversement, si l'on connaît la fonction u_y, on aura par intégration entre x et x + t :

p_x^t =

A.1.d) L'espérance de vie

On désigne par espérance de vie à l'âge x l'espérance mathématique de la durée de vie résiduelle T_x. En notant ù la durée de vie maximale, on a ainsi :

= = -