A.2. Les tables de
mortalité
Une table de mortalité suit, sur une centaine
d'année, l'évolution d'un groupe de personnes, et propose
à chaque période le nombre de vivants, le nombre probable de
vivants, le nombre de décès, et l'espérance de vie. A la
base de la construction de cette table se trouve donc la détermination
des probabilités de décès
(qxt).
A.2.a) Calcul des probabilités de
décès
Pour évaluer qxt on
met en observation Lx personnes atteignant l'âge
x dans l'année. Au bout d'un an, il reste
Lx+1 = Lx - Dx personnes
vivantes avec Dx le nombre de décès parmi le
groupe observé dans l'année écoulée. On
note alors Qx = Dx / Lx le quotient
annuel de mortalité.
On démontre alors que, pour cette variable
aléatoire Qx les relations suivantes :
E(Qx) = qx
V(Qx) =
(qx*px) / Lx
Le théorème central limite nous indique alors
que Qx suit une loi normale d'espérance
qx et de variance (qx*px) /
Lx et se met donc sous la forme :
Qx = qx + N
Où la variable aléatoire N suit une loi normale
centrée réduite.
Ainsi, la valeur exacte des variables étudiées
ne pouvant être déterminée, on doit se contenter d'une
approximation, dont on pourra déterminer un intervalle de confiance
à partir de la forme normale de Qx.
Afin de garantir l'estimation la plus précise possible,
on aura donc tout intérêt à avoir :
- Un grand nombre de variables
- Des groupes de population les plus homogènes
possibles
Dans les faits, la série des observations des
Qx est souvent très désordonnée, en
raison d'aléas statistiques. On présume que la série des
probabilités présente une certaine régularité et
notamment qu'à partir de 30 ans, les taux augmentent continûment.
On utilise parfois des méthodes de lissage des résultats et
d'ajustement.
A.2.b) L'ajustement et le lissage
La première étape, lorsqu'on recueille des
résultats, est donc de lisser la série des
Qx, c'est à dire de remplacer les valeurs
observées Qx par des valeurs qx
plus régulières, mais qui ne s'éloignent pas trop des
observations.
Sans les expliciter, signalons simplement que de nombreuses
méthodes de lissage existent : ajustement par les splines, programme de
minimisation d'écarts (Wittaker-Anderson). . . Le lissage
effectué, il est alors possible d'utiliser des méthodes
d'ajustement. En effet, les observations statistiques ne nous donnent pas
précisément qx mais plutôt un intervalle de
confiance. Cette incertitude n'est pas compatible avec la
nécessité de disposer d'une table de mortalité en vue des
calculs de primes d'assurance. Pour la réduire, on essaie donc
d'éliminer les aberrations fortuites de taux observées, en
déterminant une courbe continue
Qx = f(x) passant
à l'intérieur des intervalles de confiance.
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