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Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration des tables de mortalité prospectives

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par ALLADE Emile - Yves Gérard Yassi DALI
Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d'Economie appliquée - Ingénieurs statisticiens économistes 2009
  

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III. Le modèle de Lee Carter

Dans ce chapitre, nous exposerons la méthode de Lee & Carter (1992), qui a fait ses preuves en démographie et a été présentée aux actuaires par Lee (2000). L'idée est de passer par une décomposition en valeurs singulières de la matrice des taux de mortalité (doublement indexés, par l'âge et le temps calendaire). La matrice initiale sera ainsi approximée au rang 1 par un produit de deux vecteurs propres: l'un d'entre eux traduira l'effet et de l'âge, et l'autre l'effet du temps calendaire. Il suffira alors projeter dans le futur le vecteur décrivant l'évolution temporelle pour en déduire des tables de mortalité prospectives.

A. Le modèle

Le modèle consiste à décomposer la mortalité en deux composantes, l'une propre à l'âge et l'autre tendancielle, et ensuite à extrapoler celle relative au temps. Il est bon de noter d'emblée que la méthode de Lee et Carter possède les avantages et les inconvénients de l'objectivité: elle n'incorpore pas d'avis d'expert sur l'évolution présumée de la mortalité, sur les progrès de la médecine, l'apparition de nouvelles maladies ou encore l'évolution du style de vie. La méthode se borne donc à extrapoler dans le futur les tendances constatées dans le passé.

L'idée est ici de décomposer l'estimation brute de (taux instantané de mortalité) comme suit sur l'échelle logarithmique:

où est l'erreur qui représente la part du phénomène qui n'est pas capté par le modèle. Ces sont supposées centrées, indépendantes et de même variance ó2 (hypothèse d'homoscédasticité).

Le modèle tel que posé n'est pas identifiable car il existe un autre jeu de paramètre qui aboutit au même modèle. Par exemple en remplaçant par et par , le modèle reste invariant. Des contraintes sur les paramètres doivent donc venir compléter le modèle. Lee et Carter proposent de fixer la valeur des sommes des et des :

L'équation , décompose le taux de mortalité à l'âge x pour l'année t sur l'échelle logarithmique, à un terme d'erreur près, en la somme d'une composante spécifique à l'âge x et d'un produit entre un paramètre temporel décrivant l'évolution générale de la mortalité et un paramètre propre à l'âge décrivant l'évolution du taux à l'âge x par rapport à ceux relatifs aux autres âges. On espère bien entendu que la variance des erreurs sera aussi petite que possible.

Que signifie chaque paramètre du modèle ?

est la composante du modèle liée à l'âge. Il décrit le comportement moyen des taux instantanés de mortalité au cours du temps. Plus précisément, exp() est la moyenne géométrique des :

Soit :

est la sensibilité de la mortalité instantanée par rapport à l'évolution générale de la mortalité. Il décrit les écarts des par rapport au comportement moyen. En effet,

En particulier, les âges x pour lesquels les sont importants seront plus sensibles à l'évolution générale de la mortalité.

est la composante temporelle qui décrit l'évolution de la mortalité dans le temps.

Tout lecteur intéressé par une présentation plus détaillé du modèle peut se référer à Lee & Carter (1992), Bell (1997), Lee (2000) et Lee& Miller (2000). Bien que ce modèle ait connu un grand succès, il présente quelques limites. Le lecteur pourra se référer à Gutterman & Vanderhoof (1999).

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