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Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration des tables de mortalité prospectives

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par ALLADE Emile - Yves Gérard Yassi DALI
Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d'Economie appliquée - Ingénieurs statisticiens économistes 2009
  

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B. Estimation des paramètres

Les variables qui figurent à droite de l'équation ne sont pas observables. Bien entendu, le modèle ne peut être estimé à l'aide d'une simple régression linéaire. L'estimation des paramètres s'effectuera donc par la méthode des moindres carrés ordinaires, c'est-à-dire en résolvant le programme suivant :

L'unicité de cette solution est assuré par les contraintes et .

B.1. Etape 1 : Estimation des

Les sont estimé par les moyennes des au cours du temps. Nous avons :

B.2. Etape 2 : Estimation des

Considérons une matrice de dimension définie par . Nous chercherons à approximer au sens des MCO, cette matrice par le produit d'une matrice colonne et d'une matrice ligne :

avec et .

Il s'agira de minimiser :

La solution s'obtient en procédant à la décomposition en valeur singulière de la matrice Z. Soit un vecteur propre normé de Z'Z. Alors :

En multipliant les deux membres de la première égalité par Z, on obtient

Ce qui montre qu'à tout vecteur propre Z'Z relatif à une valeur propre correspond un vecteur propre de Z'Z relatif à la même valeur propre. Ainsi, Z'Z et ZZ' ont les mêmes valeurs propres. Soit le ième vecteur propre de ZZ' associé à la valeur propre , on alors pour ,

Ou encore

Considérons la relation

et multiplions les deux membres de cette relation par avant de sommer sur toutes les valeurs propres de Z'Z

Comme les sont orthogonaux et de norme 1,

avec la matrice unité de dimension, de sorte qu'on aboutit à la décomposition :

C'est la décomposition aux valeurs singulières. Elle assure que, sous des conditions assez générales, une matrice rectangulaire peut être écrite de façon unique comme une somme optimale de matrices de rang 1 (c'est-à-dire de produits d'une matrice ligne par une matrice colonne). L'optimalité dont il est question signifie que la première matrice de rang 1 constitue la meilleure approximation de rang 1 de la matrice initiale (au sens des moindres carrés), que la somme des deux premières constitue la meilleure approximation de rang 2, etc.

Si la valeur propre surpasse nettement les autres, alors on obtient l'approximation :

On mesure la qualité de l'approximation par le pourcentage de variance expliquée défini par

On voit bien qu'il suffit de prendre

Avec . Il est claire que la contrainte est satisfaite par les . De plus les vérifient aussi la contrainte car .

B.3. Etape 3 : Réajustement des

Nous allons à présent réajuster les de sorte que le nombre de décès prévu par le modèle soit égal au nombre de décès observé. Les nouveaux estimateurs sont solutions des équations

où est le nombre total de décès observé à la date t, et est la population au sein du groupe d'âge x.

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"La première panacée d'une nation mal gouvernée est l'inflation monétaire, la seconde, c'est la guerre. Tous deux apportent une prospérité temporaire, tous deux apportent une ruine permanente. Mais tous deux sont le refuge des opportunistes politiques et économiques"   Hemingway