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Prise en compte des risques démographiques extrêmes dans l'élaboration des tables de mortalité prospectives

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par ALLADE Emile - Yves Gérard Yassi DALI
Ecole Nationale Supérieure de Statistique et d'Economie appliquée - Ingénieurs statisticiens économistes 2009
  

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IV. Modélisation de l'indice

Le modèle classique de Lee et Carter présenté ci-dessus synthétise dans la série kt toute l'information relative à l'évolution de la mortalité dans le temps. L'objectif de ce chapitre est de modéliser cette série temporelle pour prévoir la mortalité future.

Nous écrirons dans toute la suite en lieu et place de .

A. Le mouvement Brownien

Soit une variable décrivant l'évolution temporelle d'un phénomène. Considérons la formule

Ce qui signifie que la variation de x () suit une loi normale de moyenne et de variance. Le choix de la loi normale se justifie par le fait que l'on suppose que la variable x est affecté additivement par plusieurs variables aléatoires indépendantes (théorème centrale limite).

En itérant l'on obtient une relation entre :

Et on généralise pour un intervalle de temps :

Cette équation est valable lorsque la variable temporelle appartient à un ensemble discret. Mais nous pouvons l'écrire en temps continu en choisissant un intervalle de temps très petit. On aura alors :

L'équation différentielle stochastique (mouvement brownien) s'écrit alors

La mortalité est un phénomène qui résulte des effets cumulatifs de plusieurs forces qui affectent la vie des individus. L'indice kt qui est la composante temporelle de la mortalité dans le modèle de Lee Carter peut donc être représenté par un mouvement brownien.

B. Modélisation de la dynamique de kt

Nous ajusterons les k(t) à l'aide du modèle de type (). Pour prendre en compte les éventuels sauts, nous utiliserons une chaine de Markov discrète avec des sauts ayant des effets transitoires ou permanents.

B.1. Processus avec sauts à effet transitoire

Soit le nombre de chocs durant l'intervalle de temps (0,t). Supposons qu'il y a au plus un choc (à effet transitoire) dans chaque intervalle de temps (t-h,t), alors peut s'écrire comme une chaine de Markov discrète avec

Soit, le nombre de choc intervenu dans la période (t-h,t), alors suit une loi de Bernoulli de paramètre p.

Soit, l'indice de mortalité en absence de choc. D'après l'hypothèse faite précédemment, il peut être représenté l'équation :

où et sont respectivement le taux d'évolution instantané la volatilité instantané de l'indice de mortalité en absence de choc, et est un mouvement brownien standard de moyenne nulle et de variance t.

Si un choc intervient dans l'intervalle de temps (t-h,h), i.e. , , on note l'ampleur du choc . On suppose que les sont i.i.d et suivent une loi normale de moyenne et de variance , et est indépendant du mouvement Brownien . Le choc fait que la valeur actuelle de passe de à .

Soit

S'il n'y a pas de chocs dans l'intervalle de temps (t-h,t), i.e., , on aura

En écrivant (4) et (5) en une seule équation :

Par conséquent la dynamique des indices de mortalité s'écrit comme suit :

En intégrant la première relation de t à t+h, on obtient :

Et de la seconde équation de (7), on déduit :

En posant, on obtient :

Si, alors est indépendant de . Si , alors est corrolé avec du fait de la partie . Les méthodes de maximum de vraisemblance conditionnelle permettent d'estimer les paramètres ().

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"Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit."   La Rochefoucault