Allocation du capital ajusté au risque dans le cadre du projet "solvabilité 2": cas d'application Assurance AMI

4.2.3 Indicateur de l'absence de sous additivité :

L'emploi de la VaR tire sa légitimité de la possibilité de son emploi, vue sa capacité à faire varier la probabilité á, selon Alastair (1997) et de conduire à une meilleure élaboration du capital minimal engagé au début de la période pouvant, dans le cas échéant, de se prémunir contre la perte maximale attendue en fin de période.

Si l'avantage primaire de ce procédé (en l'occurrence la VaR) se manifeste dans sa commodité puisqu'il demeure simple et ne nécessite pas de calculs compliqués et sophistiqués, il reste néanmoins entaché par quelques limites dont il serait utile de citer.

A ce stade, la principale critique qui lui est souvent adressée se traduit dans sa non conformité à l'axiome de sous additivité et de ce fait, affirmer que la somme des VaR reflète logiquement la valeur totale du risque encouru par toutes les branches d'activités, serait inconvenant puisque la somme des VaR ne tient pas compte, en effet, de l'interaction des risques.

En effet, si l'on considère X₁, comme étant le risque estimé sur une branche d'activité quelconque et que X₂ est celui associé à une autre branche, la somme

[VaR _á (X₁)+ VaR _á (X₂)] ne serait dans aucun cas assimilable au « capital permettant de couvrir le risque (X₁+X₂) dans (100- á)% des cas. ». Ainsi, la solvabilité estimée par ce procédé serait différente (situations meilleures ou pires) de celles observées en réalité, c'est à dire ultérieurement à la fin de l'exercice.

Soient X_i et X, respectivement série de risques et risque Global, avec

X=É (X₁, ......X_N).

Le risque global X étant considéré comme découlant de la prise en compte simultanée de tous les risques X_i et comme leur étant homogène. La somme des montants nécessaires à la couverture des risques X_i, considérés séparément, pourrait être représentée ainsi :

Cependant, l'hypothèse de linéarité rendrait, dans le cas échéant, assez difficile la possibilité de s'y conformer, puisque les X_i et les X seraient hétérogènes.

Selon Pfeifer.D et Strassburger.D ( 2008) , On pourrait remédier à cette situation, due à l'incomplétude de cette approche, par la possibilité d'incorporer un indicateur d'absence de sous additivité qu'on nommera ã, ainsi prôné par Peronnet et Ben Salem (2001), selon lesquels, si le risque global s'exprime comme étant , la valeur de l'absence de sous additivité ã, mesurant une possible amélioration ou pis une décadence de la solvabilité lors de l'agrégation des risques, serait représentée ainsi :

(2.7)

Il est nécessaire de rappeler que la somme des VaR (X_i) ne tient pas compte des éventuelles possibilités d'amélioration ou d'empirement de la solvabilité. Ainsi se définit comme la différence entre ces deux mesures des risques homogènes. Perossonet distingue entre deux alternatives^20(*) :

· négatif: il faut plus de capital pour couvrir le risque global (somme de X_i) que pour couvrir les risques indépendamment. Plus est petit (négatif) plus l'effet de "dégradation " est important.

· positif : il faut moins de capital pour couvrir le risque global (somme des X_i) que pour couvrir les risques séparément; l'effet "amélioration est plus important si est élevé.

La non sous-additivité de la VaR pourrait être ajustée en étudiant l'amélioration ou la dégradation de la solvabilité.il serait donc indispensable de contrôler le risque global pour aboutir enfin à une allocation du capital pour les différents risques. En effet se baser sur une solution qui consiste à couvrir chaque risque X_i par VaR (X_i) semble être erroné. En tenant compte de l'indicateur de l'indicateur de sous additivité, le capital ajusté au risque pourrait être définit ainsi:

(2.8)

Avec

Le terme est pondéré par un coefficient proportionnel au risque intrinsèque VaR (Xi). On obtient ainsi une VaR qui prend en compte l'interaction des risques. Cependant, la VaR ne tient pas en compte les valeurs extrêmes au delà d'un seuil á , en effet deux sociétés d'assurance peuvent avoir la même VaR et donc le même capital ajusté au risque mais présentent toutes les deux des pertes extrêmes différentes.

Il serait indispensable donc de mettre en place une mesure de risque qui tient en compte les excès au delà du VaR. Cette mesure n'est d'autre que la Tail value at Risk (tail VaR) qui est une mesure cohérente adoptée dans le cadre du projet solvabilité 2.

* ²⁰ Peronnet F et Sellam B. (2001), "Allocation de fonds propres en assurance vie", thèse d'actuariat ENSAE page 26.