Controle neuro-flou robuste des systèmes non-linéaires

I.4.2 Les ensembles flous :

La théorie des ensembles flous permet de traité des domaines non exactes , incertaines et mal quantifiées , contrairement à la théories des ensembles nets , notant que les incertitudes d'un système flou sont représentés par les ensembles flous [ 3 ] .

Dans la théorie classique des ensembles , un objet appartient ou n'appartient pas à un ensemble alors qu'en logique floue , un objet peut appartenir à un ensemble et en même temps à son complément .

Tout élément x d'un référentiel ( univers de discours ) U est muni d'un degré d'appartenance à un ensemble flou A , noté

qui d'écrit le « degré avec le quel l'élément x appartient à A » [ 4 ] , et qui prend ses valeurs dans l'intervalle [ 0 , 1 ] au lieu du doublet { 0 , 1 }.

Chapitre 1 : La logique floue

Exemple :

ì_A(x) Petit ì_A(x) grand ì_A(x) petit grand

1.65m x 1.65m x 1.65m x

1 si x A

ì_A(x) = ì_A(x) [ 0 , 1 ]

0 sinon

Figure I.1 : théorie classique . Figure I.2: théorie floue .

Un ensemble flou A en extension est représenté par des couples < ì_A(x) / x > , et par convention on ne fait pas apparaître les doublets dont le degré d'appartenance est nul .

Par exemple si on cherche à définir l'ensemble flou des tailles voisines de (1,24) on pourra avoir :

{ <0,6 / 1,22>,<0,9 / 1,23>,<1 / 1,24>,<0,9 / 1,25>,<0,6 / 1,26>,<0,6 / 1,26> }.

I.4.3 Propriété d'un sous-ensemble flou :

Les propriétés d'un sous ensemble flou A de U les plus utiles pour le décrire , sont celles qui montrent à quel point il diffère d'un sous ensemble classique de U . [5] [6]

La première de ces propriétés est le support de A , c-a-d l'ensemble des élément , de U qui appartiennent , au moins un peu à A .

A. support :

Le support de A , noté sup(A) , est la partie de U sur la quelle la fonction d'appartenance de A n'est pas nulle :

Supp (A) = { x U / ì_A(x) >0 } ( I . 1 )

Chapitre 1 : La logique floue

B. La hauteur :

L'élément x de U pour le quel le degré d'appartenance ì_A(x) est maximal est appelé centre de l'ensemble flou ou la « hauteur » noté par hgt(A) [7] .

Si hgt (A) = 1 A est appelé normal .

Si hgt (A) < 1 A est appelé sous ,normal . ( I . 2 )

C. Ensemble flou singleton :

Si l'ensemble flou a comme support un seul élément tel que :

ì_A(x) = 1 si x = x_{0 .}

ì_A(x) = 0 si x = x_{0 .} ( I . 3 )

donc il est appelé ensemble flou singleton .

D. Le noyau :

Le noyau d'un ensemble flou A est noté par nucleus (A) est définie comme suit :

Nucleus (A) = { x U / ì_A(x) =1 } . ( I . 4 )

S'il y a un seul point avec un degré d'appartenance égal à 1 , Alors ce point est appelé le 

 « point pic De A » .

E. La convexité :

Un ensemble flou F est convexe si et seulement si :

x₁ ,x₂ U , [0 ,1]  : ì_A( x₁ , x₂ ) min [ ì_A (x₁) , ì_A (x₂) ] . ( I . 5 )

ì_A(x) ì_A(x)

x x

Figure I.3 : Ensemble flou non convexe Figure I.4 : ensemble flou convexe

Chapitre 1 : La logique floue

F. Distance de hamming entre deux sous-ensembles flous :

La distance de Hamming entre deux sous ensembles flous A et B est une mesure qui indique le degré global avec le quel le éléments de U appartiennent à A et/ou B :

D_H(A , B) = ?_xU ( ì_A(x) - ì_B(x) ) ( I . 6 )