CHAPITRE II
Théorie de STOKES-HELMERT
La deuxième méthode de condensation de Helmert
est appliquée en même temps qu'à la théorie de
Stokes comme étant la méthode la plus simple pour résoudre
le Problème de valeurs aux limites géodésiques. La
combinaison de ces deux méthodes est dite Théorie de
"STOKES-HELMERT" qui a été développé par
Vaniçek et Martinec en 1994. Cette théorie est basée d'une
part, sur l'idée de condensation de Helmert pour la détermination
précise du géoïde, et d'autre part sur les
propriétés théoriques de la solution de Stokes dans
l'espace de Helmert.
II.1 Potentiel perturbateur de Helmert
Le potentiel perturbateur T n'est pas harmonique
à l'intérieur des masses topographiques oil le géoïde
est souvent localisé. Par conséquent, afin d'établir
l'harmonicité du potentiel perturbateur, les masses
atmosphériques et topographiques doivent être enlevées ou
remplacées. Ces opérations peuvent être
réalisées en employant la deuxième méthode de
condensation de Helmert.
Si les masses topographiques sont condensées en une
couche située sur le géoïde, le champ de pesanteur terrestre
changera légèrement. L'espace obtenu après une telle
condensation est l'espace de Helmert. Les quantités indiquées
dans cet espace seront dénotées par l'indice supérieur
h. Le potentiel de pesanteur de Helmert est défini comme suit
:
Wh(rt) = W(rt) - äV(rt) (2.1)
Ainsi, le potentiel perturbateur Th dans
l'espace de Helmert devient :
Th(rt) = T(rt) - äV(rt)
(2.2)
Avec
äV(rt) = äVt(rt) +
äVa(rt) (2.3)
äVt est le potentiel topographique
résiduel. Ce potentiel est la différence entre le potentiel des
masses topographiques Vt et le potentiel des masses
topographiques condensées
Vct :
äVt(rt)= Vt(rt)-
Vct(rt) (2.4)
De même, äVa est le potentiel
atmosphérique résiduel. Il est obtenu en soustrayant le potentiel
de la couche atmosphérique condensée Vca du
potentiel des masses atmosphériques Va:
äVa(rt)= Va(rt) -
Vca(rt). (2.5)
Le géoïde décalé s'appelle le
co-géoïde1. La fonction Th est
harmonique en tout point à l'extérieur du co-géoïde.
Ceci est évident du fait que la densité des masses au-dessus du
géoïde est nulle partout, de sorte que l'équation de Laplace
soit satisfaite à l'extérieur du géoïde:
? T ( r ) = 0
h r = r (2.6)
g
Avec rg est le rayon géocentrique du
géoïde.
Le co-géoïde de Helmert est décalé
de quelques mètres du géoïde sous l'effet indirect de
condensation de Helmert. Ce dernier est connu sous le nom de l'effet
topographique indirect primaire (PITE2) [Heiskanen et al. 1981]. Il
représente la différence de la Terre modèle de
|
Helmert et de la Terre réelle, son expression est
définie comme suit :
|
ä V R
t ( )
|
|
|
|
.
|
ã0
où äVt est le potentiel
topographique résiduel, R est le rayon moyen de la Terre et
ã0 est la valeur de la pesanteur normale sur
l'ellipsoïde de référence [Novak., 2000].
II.2 Méthode de Stokes-Helmert
II.2.1 L'espace de Stokes-Helmert
Plusieurs chercheurs se sont intéressés à
la détermination précise du géoïde. Wichiencharoen
[1982] et Wang et Rapp [1990] ont calculé, respectivement, l'effet
topographique indirect et direct sur le géoïde. Heck [1992], a
utilisé la deuxième méthode de condensation de Helmert. La
théorie de Stokes-Helmert, présentée ci-dessous, est une
recherche complète sur la méthode de condensation de Helmert pour
une détermination précise du géoïde. Dans cette
théorie le problème de valeurs aux limites
géodésique est résolu dans l'espace de Helmert. La
solution sur le co-géoïde de Helmert est alors transformée
de
1 Géoïde dans l'espace de Helmert.
2 Primary Indirect Topographic Effect
nouveau dans l'espace réel (le géoïde) par
l'évaluation précise de l'effet topographique indirect
primaire.
Le but principal de la méthode de Stokes-Helmert est de
fournir une théorie assez précise dans le calcul du
géoïde. Cette précision peut atteindre 1cm sur une distance
de 100 km ou 10cm sur une région plus importante. L'obtention de tels
résultats nécessite une précision de 10 pGal
[Vaniçek et al.1994] sur toutes les corrections et transformations
de l'anomalie de pesanteur observée dans l'espace de Helmert. Ceci
implique que n'importe quel effet sur la pesanteur, pendant les
transformations, supérieur à 10 pGal doit être
étudié et pris en considération.
Le potentiel résiduel äV(rt) est un moyen
de passage de l'espace réel à l'espace de Helmert et inversement
tel que c'est indiqué par les relations (2.2), (2.3) et (2.4). Or pour
évaluer ce potentiel, on doit connaître la différence entre
la densité des masses topographiques et celles des mêmes masses
condensées. Cependant, en première approximation, la
densité topographique est modélisée comme étant une
distribution latérale de la densité de la surface topographique.
Une connaissance approximative de cette distribution assurerait la
précision exigée dans l'évaluation de äV(rt)
et des transformations de pesanteur [Martinec et al., 1994].
La pesanteur de Helmert gh(rt) à la
surface de la Terre est la somme de la pesanteur observée g(rt)
à la surface de la Terre, de l'effet topographique direct
äAt(rt) et de l'effet atmosphérique direct
äAa(rt) référé à la surface de
la Terre :
gh(rt) = g(rt) -äAt(rt) -
äAa(rt) (2.7)
L'effet topographique direct (DTE3) sur la
pesanteur est une quantité résiduelle. Cet effet,
évalué à la surface de la Terre, est obtenu en soustrayant
l'attraction gravitationnelle des masses topographiques condensées de
l'attraction des masses topographiques. De façon analogue, l'effet
atmosphérique direct (DAE4) sur la pesanteur est une
différence entre l'attraction gravitationnelle de l'atmosphère
entière et l'attraction gravitationnelle de l'atmosphère
condensée. Chacun des deux effets est obtenu en considérant,
respectivement, la dérivée radiale des potentiels topographiques
résiduels et atmosphériques résiduels suivants:
t t
ä ? ?
A r
t ? V V V ct
ä ( ) = - = - + = A r A
r
t ( ) ( ),
ct
- (2.8)
t t t
? r ? r ?r
a a ca
? ä ? ?
a V V V
( )
r a
= - = - ( ) ( ).
ca
ä A + = A r - A r (2.9)
t t t
? r ? r ? r
Plus de détails sur l'estimation de
äAt(rt) et de äAa(rt) seront
donnés dans les sections (II.3.1.1 & II.3.2.2).
II.2.2 les anomalies de pesanteur dans l'espace de
Helmert
La perturbation de pesanteur de Helmert est définie
par:
äg h( rt ) = - ?h + å
ä g ( r t ) =g( rt ) - ã (
r t ) + åäg ( r t ) - äA t
( r t ) -äA a( rt). (2.10) ? r
La relation entre la perturbation de pesanteur et l'anomalie de
pesanteur de Helmert ?gh peut être obtenue à
partir de la condition au limite suivante :
3 Direct Topographical Effect.
4 Direct Atmospheric Effect.
T r
h
? ( )
= -
r r
+ ?ã (r)
= r t r r=rt
? g h ( r t)
?
+ å äg ( r t)
?
L'anomalie de pesanteur de Bouguer simple ( rt)
?g (pour la densité topographique
SB
moyenne pt0 ) est défini
par [Heiskanen et al., 1967] :? ( ) = ( ) - ( ) - 2 0 ° ( ? )
g SB g r r ðñ t
r ã GH
t t Q t
(2.12)
ãQ (rt) est le
prolongement ascendant de la pesanteur normale ã0 (
rt ) , calculé sur
l'ellipsoïde de référence, au telluroide tel
que:
ã Q ( r t ) =
ã 0 frt) + ?ã HN K2) + 1
?2 ã [ HN K)r + 1 ?3ã [
HN KI )] 3 +L (2.13)
?n 2 ?n2 6 ?n
3
Notons que cette relation est en fonction de l'altitude
normale HN. Or, dans ce type d'applications, ce sont les
altitudes orthométriques H° qui sont habituellement
employées. Une différence entre les altitudes
orthométriques et normales sera estimée dans le but de
transformer la relation (2.13) en une relation en fonction de l'altitude
orthométrique [Heiskanen et al., 1967]:
( rt)
? g SB (r
H N ( ? ) - ° ? = ° ?
H ( ) H ( )
ã0
t) (2.14)
En substituant l'équation (2.14) dans l'équation
(2.13) et en négligeant des limites non linéaires de la
série de Taylor ; on obtient l'expression suivante :
SB
? ã ? ? g ( )
r ?
t
ã ( )
r = ã ( )
r + H ° ? +
( ) 1
? ? (2.15)
Q t t
0 ? n ã ( ) Ò
? ? r
0 t ÿ
En développant ã Q (
rt) , nous n'avons pris en considération que les
termes linéaires de la
série de Taylor. Toutefois, cette simplification ne
donne pas des résultats précis, et une approximation d'ordre
supérieur est donc exigée. Dans ce cas nous tiendrons compte de
la latitude ainsi que des effets d'altitude [Vanicek et al., 1994].
Sachant que l'anomalie de pesanteur à l'air libre
vérifie la relation suivante [ibid.] :
?ã
?g FA r t g r t
( ) = ( ) -ã0 (rt)- H ° (
?) (2.16)
? n
Alors l'équation (2.16) peut être
réécrite sous la forme :
? ã ä V( rt ) ?ã
Th ( r t) ?
= -
?n ã 0 ( r t
)? n ã 0 ( rt)
T h ( rt ) ?äV(
rt) ?n ?n
(2.17)
( rt ) - ã ?n
H°(?)
?
?g FA
?g SB ( r t)
ã0 (
rt)
Le gradient vertical de la pesanteur normale est approximé
par:
1 ?ã 2
ã ?n
= - R -ån (rt) (2.18)
ån(rt) est la petite correction
ellipsoïdale pour l'approximation sphérique définie par :
?1 T ( )
rt
å ( ) 2
r ? m f
+ (cos 2 ? - ) , (2.19)
n t ?? 3 Òÿ R
m est le paramètre géodésique
défini par[Torge 1989]
2
ù
a
m
(2.20)
e
( ? )
ã
oil a est le demi-grand axe, ù la vitesse de rotation de
la Terre (considérée constante) et ãe la valeur
de la pesanteur normale évaluée à l'équateur.
Par substitution de ces deux approximations dans
l'équation (2.11), la forme sphérique de la pesanteur
observée peut être écrite en termes d'anomalies de
pesanteur de Helmert
?g h ( rt).
h ( ) ( ) ( )
FA t a
r = ? S r ( ) A r
t a
+
g r + S r + ä ( ) + ä A
r
( ) + ä S r
?g
î
ä ä ( )
t t t t t t t
|
= -
|
2 ? T h
T h - + å g t
( ) ( ).
r - å n r t
ä
R ?r
|
(2.21)
|
Ici, l'effet topographique secondaire indirect (SITE5)
sur la pesanteur s'écrit [Vaniçek et al., 1999] :
ä t 2 ä
S r
( ) = V ( r )
t (2.22)
t t
R
et quant à l'effet atmosphérique secondaire
indirect sur la pesanteur (négligeable en calcul) s'écrit [ibid.]
:
äS a ( r t ) = 2
R äVa (rt) (2.23)
Enfin, la correction du géoïde au
quasi-géoïde est donnée par [ibid.] :
5 Secondary Indirect Topographical Effect.
2
î
ä S r
( ) H r g r
° t ?
( ) ( )
SB
t = (2.24)
t
R
L'anomalie de pesanteur de Helmert peut également
être formulée en fonction de l'anomalie de pesanteur de Bouguer.
L'anomalie complète de Bouguer ?gCB est
définie telle que [Heiskanen et al., 1967] :
|
?
|
CB tc
( ) g r
SB FA
g r ( ) g r
( ) g r
( ) 2 G 0 H ° + ä g
r
tc
= ? + ä = ? ð ñ
- ( ) .
t t t t t
|
(2.25)
|
ägtc(rt) est la correction de
terrain.
La formule générale de l'anomalie de Helmert
devient:
? g ( )
g r
CB tc
= ? ( ) 2 0 ( )
+ ð ñ
G H ° ? - ä g ( ) ( ) ( )
r + å ä r - å r
+
t t t g t n t
t
+
?äV
( r)
?r
?ä V r
a ( ) 2 2 2
° ? ?
( ) ( )
SB + V r
t
+ a
H g r ä ( ) + ä V r
( ). (2.26)
t t t
? r R R RR H °
Pour l'évaluation de l'anomalie de pesanteur de Helmert
(rt)
?g h sur la surface de la
Terre selon l'équation (2.26), on doit calculer les effets
topographiques directs et secondaires indirects sur la pesanteur.
II.3 La réduction de pesanteur de
Helmert
Les données gravimétriques requises pour la
solution rigoureuse du problème de valeurs aux limites
géodésiques sont décrites dans ce chapitre. La
deuxième méthode de condensation de Helmert [Helmert, 1884 et
Lambert, 1930], basée sur la substitution du potentiel gravitationnel
des masses topographiques et atmosphériques par le potentiel
gravitationnel d'une couche extérieure concrète sur le
géoïde, est employée dans la réduction de la
pesanteur [Vaniçek et al., 1999].
II.3.1 Effets des masses topographiques sur la
pesanteur
Le potentiel résiduel de pesanteur äV ,
qui a été présenté pendant la "helmertisation" du
champ de pesanteur de la Terre à l'extérieur du
géoïde, peut être défini comme la somme des potentiels
résiduels topographique et atmosphérique.
Le premier terme de la somme, appelé également
l'effet topographique indirect sur la pesanteur, est la différence du
potentiel gravimétrique des masses topographiques Vt
et du potentiel gravimétrique topographique de la couche
condensée Vct, tels que [Martinec et Vaniçek,
1994]:
( ) ( )
r t 3 '
?
= ?
ñ '
3 R 2
- 21 - (2.33)
r g ( ? ')+ H ° ( ?
V t ( r) = G ?? ?
ñ (r ', ?') N (r , r ' ) r
'2 dr ' d ?' (2.27)
|
?
|
' ?? r r
' ( ')
= ?
0 g
|
et
V ct ( r) =G ??ó ( ?V
(r , ø, rg( ?')
)rg( ?')2 d?' (2.28)
Avec: ñ(r' , ?' ) est la densité
des masses topographiques.
ó(?') est la densité de la couche
topographique condensée.
H°(?') est l'altitude horthométrique.
N(r,ø, r') est la forme spatiale du noyau de
Newton définie par: N(r,ø,r') = l-1(r,ø,r')
; où l(r,ø,r') est la distance séparant le
point de calcul (r,?) du point courant d'intégration
(r',?') d'élément de surface d? .
|
1
l ( r , ø , r') =
(r2 + r'2-2 rr ' cos
ø )2
ø est l'angle entre r et r',
peut être calculé de la façon suivante:
|
(2.29)
|
cos sin ' sin cos ' cos cos '
ø ö ö ö ö ( ë
ë)
= + - (2.30)
rg(?') est le rayon géocentrique du
géoïde.
? = (?,ë) l'angle solide où ? et
ë sont les coordonnées géographiques
géodésiques
?0 = { ? / ? ?[-ð/2, ð/2],
ë?[0, 2ð]}.
Les potentiels Vt et
Vct peuvent être simplifiés en utilisant
l'approximation du géoïde par la sphère de
référence de rayon R, et en utilisant un modèle
simplifié de densité des masses topographiques ñ(
r , ? ' ) ñ(?') et rg(?') R.
L'approximation sphérique entraîne une erreur
dans la hauteur géoïdale [Martinec, 1993].
Les équations (2.27) et (2.28) peuvent donc être
écrites, respectivement, comme suit :
R+H°
(?
')
V r G
t ( ) = ?? ( ) ?
ñ ? ' N(r , ø,
r' ) P2 dr ' (2.31)
V ct (r ) = GR2 ??
4? ')* ,ø, Off (2.32)
La densité des masses topographiques condensées
ó(?') est reliée à la densité des masses
topographiques ñ (? ') par le principe de conservation des
masses topographiques [Wichiencharoen, 1982];
ó ( ?' ) =ñ (
?' ) R + H ° ?(')
r '2 dr ' = ñ ( ? '
) H ' ) + H ° 2 ( ? + H
° 3 ( C22')
R 2 3 R
r ' = R ? ? ? ?
Le potentiel topographique résiduel des masses
topographiques äVt devient :
R + H°(?')
äVt ( r ) = G ??
ñ( a) ? Í( r ,v,r ') r '
2 ,53^' Al' - G if ñ(?'
)r3 (a)- R3
Í ( , , ) '
? ??
' r ' =R ?'? ?
r R d
ø ? (2.34)
3
0 0
D'après Gradshteyn et Ryzhik [1980], l'intégrale de
Newton est:
R+H°
(?')
1
r'-r
+
) r R
' =
cosø
N r r
( , , '
ø
(?')
R+H °
?
r '=R
N (r ,yi, P) r
'2 dr'
( ' 3 cos ) r r
+ ø +
2 N r r
( , , '
ø
1
)
r2
2
(3 cos2 ø-1) ln
La singularité de l'intégrale de Newton peut se
produire au point de calcul pour Ø=0.
Le potentiel topographique sur la surface topographique
Vt(r) peut être décomposé en un
potentiel topographique du plateau sphérique de Bouguer
Vts(r) et en celui du terrain accidenté
Vtr(r) [Martinec, 1993].
L'évaluation correcte de toutes ces intégrales
exige une bonne connaissance de la densité topographique
ñ(?). Celle-ci peut être remplacée par la somme
suivante:
ñ(? ' ) = ñ0 +
äñ (? ') (2.35)
ñ0=2.670 kg/m3 représente la
densité topographique moyenne ; la forme générale du
potentiel topographique devient :
? 2
H ° ( ? ) 1 ? ° ?
H ( ) ?
H ° ? +
( ) 1
? + ? ?
? R 3 ? R ?
?
R+H °
+ Gñ 0 ?? ? N(r ,yt,
r') r '2 dr ' di
? ?
li
( ')
?
(2.36)
R2
(?)
V r
t ( ) 4
= ð G ñ 0
rt
(?)
r'=R +H °
? ? ?
' 0
+ G ?? äñ(?') ? N(r
,v, r') r '2 dr '
cll.
Le premier terme de l'équation (2.36) est le potentiel
gravitationnel du plateau sphérique de Bouguer (de densité
topographique moyenne ño et d'épaisseur H°(?)).Le
deuxième terme représente le potentiel gravitationnel du terrain
accidenté et le troisième terme représente l'effet de la
distribution de densité topographique äñ(?) sur le potentiel
gravitationnel.
L'effet topographique direct des masses topographiques sur la
pesanteur, créé en un point à la surface de la Terre, est
donné par la dérivée radiale du potentiel des masses
topographiques Vt [Martinec et al., 1994a]:
(?
?V
t
A
(rt
)
r
=R + H°
?0
(?)
(?)
r
=R +H
?N(r , r
?r
R+H°
G ?? ñ( ?') ?
r ' =R
r'2dr ' d?'
(2.37)
?r
Il prend la forme suivante:
°
( ?)
r =R +H
r = R +H
?N
( r ,y1, r')
?r
4ð R 2 Gp0 H
° p) L1 +i-p?()+ [
H121+G ñ fr JJ
r t ( ?)2 R 3 R2
0
? '??
t
? V
( r)
?r
R +H
0 r '=R +
H° ( ?)
( ?')
r '2 dr '
( ?)
1
r '2 dr id?' . (2.38)
(
?
)
+
äñ
( ? )
R +H
r '=R
?° ( ?')
?r
?N
( r,y1, r
r = R +H
Un procédé semblable peut être
appliqué au potentiel gravimétrique des masses topographiques
condensées. Si on considère la décomposition de la
densité topographique des masses topographiques condensées
ó(?)=ó0 + äó(?), le potentiel des masses
topographiques condensées s'exprime comme suit:
ct
V
( r ) = 4ðG ó + G
ñ 00
(
)
?
R 2 r 3 ( ?') -
r3 ( ?) ?? N ( r , R )
d ?'
3
äñ
? '? ?
+ G ??
? '? ?
3 3
( ? ') -
( ? ')r N r R d
( , , ) '.
ø ? (2.39)
3
2
2 rr' cosy-)
r2
+r'2-
=
'2dr'
r'2dr'
( ')
?
)
ct
A
(rt
R +
r)
r
V
ct
?r
Selon Martinec, 1993 nous avons:
( ')
? ? N r r
( , , ' )
ø ?r
=R ? r
2 ?? ó ( ?') ?N(
r
,v
, R?
)
GR
R H
+ °
H° ( ?) ?1 ?0
r
r
R+H °
r'=R
'
r
R + H°
(?)
R+H° (?'
r' =R
r - coSV
3
'.
d ?
1
'
)
N r r
( , ,
ø
(2.40)
(r '2 cosv + 3r
2 cosv +r?-6 rr' cos2
ø ) N( r , v, r ' ) +
r(3 cos2 ø-1) ln
- 23 -
'
r-
cosy/
Ici, le premier terme de l'équation (2.39) est le
potentiel gravitationnel du plateau sphérique condensé. Le
deuxième terme représente le potentiel gravitationnel du terrain
accidenté condensé. Enfin, le troisième terme
décrit l'effet de la distribution de densité topographique
condensée sur le potentiel gravitationnel.
L'effet topographique direct des masses topographiques
condensées sur la pesanteur est représenté par la
dérivée radiale du potentiel des masses topographiques
condensées Vct. Cet effet est
également comptée sur la surface de la Terre [Martinec et al.,
1994a]:
II.3.1.1 Effet topographique direct
L'effet topographique direct sur la pesanteur est
défini par la dérivée radiale du potentiel résiduel
äAt des masses topographiques,
référé à la surface de la Terre [Martinec, 1993 ;
Martinec et al., 1994a].
R + H
( )
?
ä At(rt)
r
? (r)
8 V
?
r
? Vt(r)
?
r
r
=R+ H°(?)
V
ct
(r)
?
r
r
R + H ° (?)
(2.41)
En appliquant la décomposition des densités dans
les équations (2.37) et (2.40); l'effet topographique direct sur la
pesanteur prend finalement la forme suivante :
?N
??
? ,?0
r '2 dr W? '- Gñ
( ?)
r 3(?' ) - r X?) ?N
3
( r ,v, R)
?r
?r
° ( ? r r = R+H
r = R+ H°°(
?)
t
( r)
?äV
?r
r R H
= +
?? ?r
Gñ0
? a?0
d ?+
'
+ G 4)( ?
? a?0
r t
3 ( ?)' - R 3 ?N ( r
,V, R)
3 ?r
|
') r+ H°
7,R
|
( ?)
|
?N
|
|
|
|
r '2 dr ' d?'-
G
|
??
|
4)( ?')
|
|
|
?r
|
|
|
|
|
|
|
|
( ?)
|
? ,?0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'.(2.42)
d?
R
r = +H( ? )°
II.3.1.2 Effet topographique secondaire
indirect
L'application de la correction topographique à l'anomalie
de pesanteur donne l'origine
de l'effet
2 2 R + H 0 ( a) 2
3 r ( a) -R3 topograp
ä Vt ( r) = G ??
ñ(? ' ) ? Nr ,v,r ')r
'2 cii- ' di- G ?? ñ
( ?') Í ( , , ) '
; (?) t (?) ' ? P= R
r(?) ? 3
r R d
ø ?
0 0
hique
indirect secondaire, cet effet atteint des valeurs significatives
dans des régions montagneuses, où il peut atteindre 100
mGal.
L'effet topographique secondaire indirect sur la pesanteur, qui
se rapporte à la surface de la Terre, est donné par
l'équation [Martinec et Vanicek, 1994b].
2 2
( ?)
t rt ( ?) rt( ?) V t V
.
r
2
ct
(2.43)
Par suite, on obtient l'équation suivante:
R+H
r R d
ø ?
r (?) r ( ? ) r R
' = r ( ? ) 3
t t ' t
? ? ? ? ? ?
'
0(
2 2
? 2 r
30)
(2..44)
( r) = G ??ñ( a) ? Nr
,v,r ') r WAY- G ?? ñ(
?') -R3 Í ( , , ) '
0 0
II.3.2 Effet des masses atmosphériques sur la
pesanteur
Transformons le problème de valeurs aux limites
géodésiques formulé dans l'espace réel par
l'équation (2.11), dans l'espace de Helmert selon l'équation
(2.21). L'effet des masses atmosphériques sur la pesanteur est
représenté par les effets atmosphériques directs et les
effets atmosphériques secondaires indirects.
II.3.2.1 Potentiel gravitationnel résiduel des
masses atmosphériques
Identiquement au potentiel gravitationnel résiduel des
masses topographiques, "le potentiel gravitationnel résiduel des masses
atmosphériques" äVa(r) est donné par la
différence du potentiel gravitationnel Va(r) des
masses atmosphériques et Vca(r) le potentiel
gravitationnel des masses atmosphériques condensées (selon la
deuxième méthode de condensation de Helmert) sur le
géoïde [Vanícek et al., 1999].
äV a ( r ) = Va (r
) - Vca (r) . (2.45)
Sous l'approximation sphérique du géoïde, le
potentiel gravitationnel des masses atmosphériques
Va(r) est :
|
rlim
V a ( r ) = G ?? ?
ña( ?' )N ( r , ø
, r ') r '2 dr ' AY,
??0 r ' = R + H° ( ?')
|
(2.46)
|
ña(?') est la densité
atmosphérique réelle et rlim est la limite
supérieure de l'atmosphère oil la densité
atmosphérique devient négligeable.
Le potentiel gravitationnel des masses atmosphériques
condensées Vca s'exprime par:
V ca ( r ) = GR 2
óa ( ?)'N ( r , ø, R )
d?', (2.47)
Avec óa(?) comme densité
extérieure des masses atmosphériques condensées.
Selon le principe de conservation des masses, la densité
des masses atmosphériques condensée est définie par:
óa ( ? ) 1 r?
R 2 ña ( r ) r
2 dr , (2.48)
r = R + H.( ?)
Par substitution de l'équation (2.48) de la
densité extérieure atmosphérique
óa(?) dans l'équation (2.47) ; le potentiel
gravitationnel Vca(r) des masses atmosphériques
condensées prend la forme suivante:
rlim
V ca ( r )= G ??
ña ( ON ( r ø , R ) r
'2 dr ' d?'.(2.49)
? ' ?? 0 r '= R + H ° ( ?')
Formellement, les masses atmosphériques de la Terre
peuvent être décomposées en :
- Plateau sphérique dont le rayon est compris entre la
limite supérieure de la
surface topographique (R +Hlim, Hlim = max
H°) et la limite supérieure de l'atmosphère
rlim (50 km);
- L'atmosphère accidenté délimité par
la surface de la terre (R +H°) et sa
limite supèrieure.
Le potentiel gravitationnel Va(r) des masses
atmosphériques peut alors être décrit par [Novák,
2000] :
R+H lim r lim
|
V r G
a a
( ) = ?? ? ñ (r' ) N ( r
,v, P) P2 d? + G ?? ?
ña ( ' ) ( , ,
r N r ø
|
r' ) r '2 dr ' ' .
?
|
(2.50)
|
|
??0 r'=R + H °
(?')
|
?? ? = +
' 0 r R H
' lim
|
Décomposons également le domaine
d'intégration de la densité atmosphérique
extérieure óa (?) dans l'équation (2.48) comme
suit:
R+ Hlim 1 rlim
óa (?) ? ña (r) r
2 dr + ? ña (r) dr
(2.51)
R2 r= R + H° (?)
R2 r=R + Hlim
Le potentiel gravitationnel Vca des masses
atmosphériques condensées devient [Novák, 2000] :
R+
H
lim m
V ca (r ) = G ?? ? ñ a
(r' ) N ( r , ø , R)
r'2 dr ' d ?' rli
+G ff ? ña (r' ) N ( r
, ø , R) r '2 dr '
d?' . (2.52)
?' ? ?0 r'=R+H°(?'
) ? ' ? ? 0 r'=R+ H lim
II.3.2.2 Effet atmosphérique direct
L'effet atmosphérique direct sur la pesanteur est
défini comme étant la dérivée radial du potentiel
gravitationnel résiduel äVa des masses
atmosphériques rapporté à la surface terrestre
[Vaniçek et al., 1999 e tNovák, 2000]:
|
?
|
ä V a
|
(r
|
)
r
|
|
|
|
=
|
?V a
|
(
|
r
|
)
r
|
|
|
?V ca
|
(r
|
)
r
|
|
|
|
(2.53)
|
|
?r
|
|
|
=
|
R + H°
|
( ?)
|
?r
|
|
|
|
=R+ H°
|
(?)
|
?r
|
|
=R+ H°
|
(?)
|
.
|
Chapitre II Théorie de Stokes-Helmert
Puisque l'effet atmosphérique direct du plateau
sphérique sur la pesanteur (liée par les rayons
géocentriques des limites supérieures de la topographie
Hlim et de l'atmosphère rlim) au point
intérieur, r< R +Hlim, est nul [Mac Millan, 1930]
?r <R+ Thim : G ?? rr
pa (r ' ) ?N(r ?
r'2dr ' dff= 0, (2.54)
? ? ? 0r '= R+
r
r
H lim
La limite de rugosité, qui représente l'effet
atmosphérique direct sur la pesanteur entre la topographie (r = R +
H°) et la limite supérieure de la topographie (r = R +
Hlim), est donnée par [Novàk, 2000] :
°
=
)
r
(?)
R +H
)
'
R+Hlim
G
a(
r'=R + H° (?')
( , ,
r r
ø
?r
?N
'
ñ
(
r
?V a
?r
°
=
)
r
R +H
( ?)
r'2dr ' d?'.
(2.55)
Comme l'effet atmosphérique direct du plateau
sphérique de condensation sur la pesanteur avec la densité
atmosphérique extérieure óa(?) au
point externe au-dessus de la couche de condensation r>R est
égale à une constante [Mac Millan, 1930] :
rlim KR)
G??? ña(r' ) r
'2di ?N(r '
a?? 0 r '=R +fihm
?r
R2 rim
d ? =
'
ña
(r) r '2dr' ,
-4ðG
?
(2.56)
r
r 2
r R
' = + H lim
L'effet atmosphérique direct sur la pesanteur des masses
atmosphériques condensées devient :
= - 4 ð G rt( ?) ? ña ( r
')r ' 2 dr ' +
lim
r '= R +H lim
ca
? V
r
( r)
°
?
( )
?
r = R +H
lim
R + H
? N ( r ,ø ,R)
G ?? ? ñ a( r
')r ' 2 dr ' d ? '. (2.57)
?' ??0 r ' = R + H ° (
?') ?r r =R + H°
Par substitution de (2.55) et l'équation (2.57) dans
l'équation (2.53) ; l'effet atmosphérique direct sur la pesanteur
prend la forme suivante :
R + Hlim
?äV a ( r)
? r
?N ( r , , r')
2 rlim
R
G ?? ?
a
( r ')
r '2 dr d?' +4ð G ?
ña ( r ')r ' 2 dr '
r ' = R + H° ( ?')
?rr t
lim
r = R + H° ( ?) ? ' ?
?0 r = R + H° ( ?) r ' =
R + H
ñ
R + Hlim
G ?? ? ña ( r ')r
'2dr
?'? ? 0 r '= R + H° (
?')
'. (2.58)
?N
d?
( r ø, R)
°
'
?r
r =R +H
( ?)
II.3.2.3 Effet atmosphérique secondaire
indirect
L'effet atmosphérique secondaire indirect sur la pesanteur
définie sur la surface de la Terre, peut être décrit par
l'expression suivante [Novák, 2000] :
2 Va (r) = 2 Va (r) - 2V
ca(r) . (2.59)
r t rt rt
Si on considère les équations (2.50) et (2.52), le
potentiel de la gravité résiduel äVa
dans l'équation (2.59) prend la forme suivante:
r lim R2 r lim
äV a ( r) = 4ðG ?
ñ a ( r ') r ' dr ' -
4ðG ? ña ( r ') r
'2 dr '+
r t r R
' = + H limr ' = R+Hlim
R + H lim R+Hlim
|
G ?? ? ñ
|
a a
( )
r N r r dr d G
' ( , , ') '
ø ?- ?? ? ñ ( r '
|
)r '2 dr ' N ( r
, ø , R ) d? '.(2.60)
|
??? = + ° ?
' r R H
' ( ') ? ?? = + ° ?
' r R H
' ( ')
0 0
II.3.3 Prolongement descendant des anomalies de pesanteur
de Helmert
Dans la formulation standard du problème de valeurs aux
limites géodésique de Stokes, la solution (le potentiel
perturbateur T) est déterminée au-dessus de la surface
limite, le géoïde, alors que les observations (les valeurs de
pesanteur g) sont mesurées à la surface de la Terre.
Pour obtenir ces valeurs aux limites, les observations doivent être
réduites de la surface terrestre au géoïde. Cette
réduction est appelée le prolongement descendant d'anomalie de
pesanteur.
Le prolongement descendant peut être appliqué aux
valeurs observées g, les perturbations de pesanteur
äg, le potentiel perturbateur T, ou n'importe quelle
combinaison de ces quantités. Une fois qu'on peut prolonger T
vers le bas, le prolongement descendant des autres quantités peut
être également déterminé.
Maintenant exprimons ce problème du point de vue
mathématique. Il y a deux classes du prolongement descendant pour
déterminer le géoïde: le prolongement descendant de Poisson
basé sur la formule intégrale de Poisson. La deuxième
catégorie est nommée : le prolongement descendant analytique qui
est basé sur la série de Taylor. Or le problème
rencontré réside dans la divergence de la série de Taylor
quand le point d'intégration est proche du point de calcul. L'outil
mathématique standard utilisé en étudiant le prolongement
descendant aussi bien que le prolongement ascendant est le
théorème de Poisson. Le théorème de Poisson assure
cela par une fonction f, connue sur une sphère de rayon
R et harmonique en
dehors de cette sphère. Nous pouvons calculer les
valeurs de la fonction f(r,???) sur n'importe quel point
à l'extérieur de la sphère (r >R) par
l'intégrale de Poisson selon [Kellogg ; MacMillan, 1930] :
f (r , ?) =
? ?
f R K r R d
( , ' ) ( , , )
ø ?
?'
(2.64)
'
,
1
4
ð
OA K est le Noyau de l'intégral de Poisson
défini par [Sun et al., 1998] :
|
K(r t,
ø,R
|
)
|
8? R
? (2 1)
n + ??
n=2 rÒÿ
t
|
n
|
+
|
1
|
Pn
|
(cos )
ø
|
(2.65)
|
t
2 - R2
r
,
R
=
l3 (r t, ø,
R)
Une expression semblable à l'équation (2.64) peut
être déterminée également pour le calcul de la
dérivée radiale d'une fonction harmonique f [Heiskanen
et al., 1967].
)
?f
=
R
'.
d?
(2.66)
K(r , ø,R
'
?r
?
? ?f ?' ?r
4ðr
r ,
R,?
Puisque les masses topographiques et atmosphériques
sont condensées sur le géoïde, l'espace de Helmert au-dessus
du géoïde (rapproché par la sphère
géocentrique de rayon R (rgR)), est
harmonique. L'anomalie de pesanteur de Helmert Agh
multiplié par le rayon géocentrique de la surface terrestre
rt satisfait l'équation de Laplace au-dessus du
géoïde,
r t fR: ?2[rt?g h
( rt)]= 0 , [Vaniçek et al; 1996].
L'intégrale de poisson pour ?gh est donnée
par la formule suivante [kellogg, 1929] :
R
h
? = ?? K r R g R d
h
g r
( ) ( , , ) ( )
ø ?
t ?
t
4 ð
rt
? '? ? 0
OA ?gh(rt) est le vecteur des anomalies de
pesanteur de Helmert sur la surface de la Terre et ?gh(R) est le
vecteur des anomalies de la pesanteur de Helmert sur le Co-géoïde
(rapprochée encore par la sphère de référence de
rayon R).
La forme discrète de l'équation de
l'intégrale de Poisson dont la forme générale est
l'équation de l'intégrale de Fredholm de première
espèce, peut être exprimée comme suit [Martinec, 1996] et
[Huang, 2002] :
? h g ( r t ) = K (rt,
ø , R) ? gh(R ),
(2.68)
Selon l'itération approchée de Jacobi [Ralston,
1965] pour la solution d'un système d'équations
algébriques linéaires, la matrice K(rt, w,R) , peut
être exprimée sous la forme :
K ( rt ,ø ,
R) = I - B
(rt,ø, R) , (2.69)
I est la matrice unité et B est la
matrice creuse déduite de la matrice K par suppression des
termes de la diagonale. En substituant l'équation (2.69) dans
l'équation (2.68), on obtient le système d'équations
algébriques suivant [Martinec, 1996] :
? h =? h + ø ?
g ( R ) g ( r )
B ( r , , R ) g h (
R ).
t t (2.70)
Le système d'équation (2.70) peut être
résolu itérativement. On commence par le vecteur d'anomalies
à l'air libre de pesanteur à la surface terrestre ?gFA
(parce que ces dernières sont semblables aux anomalies de pesanteur de
Helmert sur le géoïde)
|
? g
|
h
|
(
|
R
|
FA
)
0 ? g (r t) .
|
(2.71)
|
La kième étape d'itération (k
>0) ?gh(R)1k, est effectuée selon l'équation
suivante [Martinec, 1996] :
|
? g h ( R ) = B (r
tø , R) ? gh (R)
+?
|
g
|
h
( )
r (2.72)
t
|
|
k k
|
-
|
1
|
Ainsi, lorsque la différence des résultats de
deux itérations??gh(R)1k - ?gh(R)1k-11est
inférieure à la tolérance 6, le processus des
itératifs s'arrête. Le résultat de cette opération
est la solution de l'équation (2.68), [Martinec, 1996]
|
k
? g h ( R) = ? gh (r
t) + ??gh(R)k
k =1
|
,
|
(2.73)
|
Où k est la valeur de la dernière
itération.
Figure II.2 Schéma standard des deux
espaces
Le prolongement vers le bas, basé sur la formule
d'intégrale de Poisson, est connu pour être un problème
instable, ce problème de stabilité été
étudié par Martinec (1996). En raison de l'instabilité,
les erreurs existantes dans l'expression de ?gh(rt) peuvent influer
sur la solution. Cependant, quand les valeurs moyennes sont employées au
lieu des valeurs discrètes, ce problème est
légèrement allégé, car les valeurs moyennes ne
montrent pas les fréquences les plus élevées.
II.3.4 Les corrections ellipsoïdales
Pour résoudre le problème de valeurs aux limites
de Stokes, les anomalies de pesanteurs rapportées à la surface de
la Terre doivent être prolongées vers la surface du
géoïde. Pour cette raison, le potentiel gravitationnel au-dessus du
géoïde doit être harmonique.
Dans l'espace de Helmert la fonction r?gh est
harmonique [Vanicek et Martinec, 1994] ; Noter la présence des deux
corrections ellipsoïdales dans les expressions (2.22) et (2.27).
Wong [2001] a prouvé que les corrections
ellipsoïdales sont harmoniques. D'ailleurs, si la forme ellipsoïdale
d'une fonction est harmonique alors sa forme sphérique l'est aussi.
Ainsi, par convention, le prolongement vers le bas peut être
traité avec les anomalies «sphériques» de Helmert, en
d'autres termes sans considérer les corrections ellipsoïdales
åäg et ån. Cela signifie que les
anomalies de pesanteur de Helmert ne doivent pas être corrigées
pour la correction ellipsoïdale avant le prolongement vers le bas. Les
corrections ellipsoïdales appropriées sont ajoutées aux
anomalies de Helmert seulement au niveau du géoïde. Rappelons que
ceci est appliqué dans l'espace de Helmert plutôt que dans
l'espace réel.
h
2
T
h ( )
R
? T
?r
R
Comme déjà mentionné, selon les
investigations de Wong [2001] on peut ajouter la correction ellipsoïdale
au niveau du géoïde. Afin d'obtenir des anomalies
ellipsoïdales du type d'anomalies sphérique (toutes les deux sont
rapportées au niveau du géoïde) l'expression suivante peut
être employée :
å R - R
n å ä g
R = ? g R
h +
( ) ( ) ( ) ( )
e 2
g R
h ( ) (3 cos 2 2 ) ( )
è - T R
h
= ? -
R
e 2
+ cos
R
è è
sin
)
? T
h ( )
R
?r
(2 . 74
Avec : è est la co-latitude
géocentrique.
e2 est l'excentricité de
l'ellipsoïde de référence.
|
åä g
|
e 2
( )
R = - (3 cos 2 2) ( )
è - T R
h
R
|
h
e 2 ? T R
( )
å ( )
R = - cos sin
è è
n R ? r
Le potentiel perturbateur T(rt) (en dehors des masses
topographiques) peut être estimé à partir des
modèles géopotentiels sphériques harmoniques:
|
n
GM 8 ? a I n
T r
H ( ) =
t ? ?] ?
??
r t n = 2 r t m=0
|
[ cos
n T m m ë S sin ] (sin )
C + n T m m ë P ö ( 2 . 75
)
, , n m
,
|
Analogiquement, la première dérivée du
potentiel perturbateur peut être estimée par
l'intermédiaire de la première dérivée des
fonctions de Legendre associées, comme suit :
H n
? T R GM
( ) 8 [ a 1 n P (sin ö
)
,
[ C T cos m S T n m
ë sin ë ] ?
= ? IJ ? + m (2 . 76)
, ,
? ö n 2 ?? n m n m
R = R m = 0 ?ö
Dans l'équation (2.75), on note par TH le
potentiel perturbateur "Helmertisé" (c.-à-d., le potentiel
perturbateur T correspond au niveau du géoïde avec la
contribution des masses topographiques et l'évaluation du prolongement
vers le bas). Pour la "Helmertisation" les coefficients harmoniques
sphériques des altitudes topographiques peuvent être
employés (pour plus de détails voir le chapitre III).
| 
