Solution du problème de valeurs aux limites géodésique théorie de Stokes-Helmert

Chapitre IV

Application

IV.1 Introduction

Cette partie consiste en la mise en application de la théorie développée dans les chapitres précédents à travers la détermination du géoïde et du quasi-géoïde¹ ; leur calcul fait appel à un ensemble de méthodes établies depuis longtemps: Gauss (1828), Bessel (1837), Listing (1873), Stokes (1849) et, Helmert (1884).

Le géoïde est calculé à l'aide des programmes GRAVSOFT et d'autres programmes réalisés au LAREG (Laboratoire de Recherche en Géodésie de l'Institut Géographique National, Marne la Vallée) et à l'ESGT (École Supérieure des Géomètres et Topographes) [H. Duquenne, 2005], en tenant compte des noyaux modifiés de Stokes.

IV.2 Données utilisées

Les données utilisées sont une combinaison de données gravimétriques, du modèle géopotentiel et du modèle numérique de terrain.

Données gravimétriques

La zone choisie dans cette application s'étale de [32°, 37°] en latitude et [-3°, 5°] en longitude et contient 2064 points. Ces données sont acquises auprès du BGI (Bureau Gravimétrique International). Elles sont réparties sur le territoire Algérien et elles sont assemblées dans un fichier nommé EOL dont dispose le CTS. Ce choix est dû à la densité de points relativement élevée et à la nature du terrain dans cette région.

Un programme informatique est élaboré pour générer une grille gravimétrique ^quireprésente la zone d'étude d'espacement en latitude et en longitude (??,?ë) de (5'x5') à partir

d'un échantillon de données répartis aléatoirement sur la zone d'étude pour des données d'anomalies à l'air libre où on introduit les limites Nord, Sud et le pas en latitude, et Est, Ouest et le pas en longitude.

1 Surface permettant la conversion des hauteurs ellipsoïdales en altitudes normales.

Données du modèle géopotentiel

Le modèle géopotentiel utilisé est le modèle EGM96 (Earth Geopotential Model - 1996), développé jusqu'au degré et ordre 360. Il englobe les résultats définis à partir de l'analyse des orbites des satellites et les données gravimétriques de l'ancienne Union soviétique, l'Amérique du sud et l'Afrique. Il contient les coefficients harmoniques du potentiel et les erreurs moyennes correspondantes.

Le modèle global d'élévation TUG87 a été également utilisé, il contient la représentation harmonique sphérique de la topographie globale au degré et à l'ordre 180. Les coefficients pour la puissance de la topographie globale jusqu'au degré et à l'ordre 90 sont également disponibles pour l'évaluation des effets dus aux masses topographiques éloignées.

Figure IV. B : Secteur du modèle numérique de terrain englobant l'Algérie

(source).

Modèle numérique de terrain

Le calcul des effets de la topographie nécessite l'existence d'un modèle numérique de terrain de haute résolution. A cette fin et par manque d'un MNT précis sur l'Algérie, un modèle a été généré à partir des informations altimétriques liées aux observations gravimétriques fournies par le BGI; ceci signifie que ce MNT n'est pas plus homogène que la répartition des stations gravimétriques et comporte les mêmes lacunes. C'est bien évidemment un handicap pour une solution définitive de géoïde.

Le modèle numérique de terrain utilisé dans cette application est le modèle GTOPO30, c'est un modèle numérique global d'élévation. Il est le résultat d'une collaboration entre le personnel du centre de surveillance géologique EROS Data Center en 1996. GTOPO30 a été développé pour satisfaire au besoin d'utilisation des données géospatiales et des données topographiques à l'échelle régionale et continentale.

Figure IV.C : Découpage du modèle numérique GTOPO30

Deux modèles numériques de terrain ont été employés dans ces calculs numériques: le M.N.T large (5' x 5') pour les zones éloignées du point considéré et le M.N.T fin (30" x 30") pour les zones proches de ce même point. Les surfaces océaniques sont indiquées par les valeurs 9999. Ces deux MNT sont illustrés dans les figures suivantes (Fig.IV.1) et (Fig.IV.2)

Figure IV.1 : Modèle numérique de terrain (30»x30»)

Figure IV.2: Modèle numérique de terrain (5'x5') IV.3 Principaux programmes utilisés

Les différents programmes utilisés pour l'application de la détermination du géoïde gravimétrique sont :

GEOGRID (programme écrit par Tscherning et al., 1994)

Un programme informatique est élaboré pour générer une grille gravimétrique à partir d'un échantillon de données répartis aléatoirement.

Le calcul fait intervenir les routines suivantes :

DTE.f Ce programme calcule la contribution des zones proches à l'effet topographique direct sur la pesanteur.

DTF.f Ce programme calcule la contribution des zones éloignées à l'effet topographique direct sur la pesanteur.

DAE.f Ce programme calcule l'effet atmosphérique direct sur la pesanteur.

PTE.f Ce programme calcule la contribution des zones proches à l'effet topographique primaire direct sur l'ondulation du géoïde.

PTF.f Ce programme calcule la contribution des zones éloignées à l'effet topographique primaire direct sur l'ondulation du géoïde.

STE.f Ce programme calcule la contribution des zones proches à l'effet topographique secondaire indirect sur la pesanteur.

STF.f Ce programme calcule la contribution des zones éloignées à l'effet topographique secondaire indirect sur la pesanteur.

GIN.f Ce programme transforme les anomalies de pesanteur via la formule de Stokes-Helmert en ondulations géoïdales.

IV.4 Résultats numériques

Les valeurs statistiques des effets topographiques et atmosphériques de pesanteur, décrits au chapitre II, sont données dans les tableaux (IV.1), (IV.2) et (IV.3).

Paramètre	Min	Max	Moy	Dev-Std	^Unite
Effet du terrain	-0,06	417,06	13.10	41,6	mGal
Effet du terrain ^condense	-110,75	468,7	1.69	29,92	mGal
Effet direct	-166,99	387,03	11.41	36,17	mGal
Effet secondaire indirect	-0.4721	-0.0009	-0.0250	0.0519	mGal
Effet primaire indirect	-1,283	-0,003	-0,136	0,095	m

Tableau IV.1: Effets topographiques de pesanteur <<zones proches»
- zone étude sur l'Algérie-

Paramètre	Min	Max	Moy	Dev-Std	^Unite
Effet du terrain	-31,38	117,136	60.938	36,529	mGal
Effet du terrain ^condense	-31,43	117,424	61.039	36,628	mGal
Effet direct	-0,311	0,066	-0.101	0,105	mGal
Effet secondaire indirect	-0.059	0.068	-0.007	0.0256	mGal
Effet primaire indirect	-0,079	0,165	0,0615	0,0419	m

Tableau IV.2: Effets topographiques de pesanteur <<zone séloignées»
-zone étude sur l'Algérie-

Paramètre	Min	Max	Moy	Dev-Std	Unité
Effet atmosphérique direct	0,6603	0,9064	0,807	0,0295	mGal
Accélération du plateau sphérique condensé	-0,8692	-0,715	-0,787	0,032	mGal
Accélération résiduelle de l'atmosphère accidentée	-0,102	0,042	0,0127	-0,0063	mGal

Tableau IV.3: Effets atmosphériques de pesanteur - zone étude sur l'Algérie-

Les contributions des zones proches au terrain, au terrain condensé, aux effets topographiques directs, et aux effets topographiques secondaires indirects sur la pesanteur, calculées sur la topographie sont décrites dans les figures suivantes :

Latitude(degre)

37

36

35

34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.3.1 Contribution des zones proches au terrain topographique (mgal)

37
36

Latitude(degre)

35 34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.3.2 Contribution zones proches au terrain topographique condensé (mgal)

Latitude(degre)

37

36

35

34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.3.3 Contribution des zones proches aux effets topographiques

directs sur la pesanteur (mgal)

Latitude(degre)

37

36

35

34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.3.4 Contribution des zones proches aux effets topographiques secondaires
indirects sur la pesanteur (mgal)

Les intégrales de Newton ont été calculées en utilisant les altitudes de point de la grille 30"x30" dans un rectangle de 1°x1° centré au point de calcul. Les altitudes moyennes de 5'x5' ont été employées pour l'intégration au-dessus du reste du chapeau sphérique.

Les effets correspondants pour les zones éloignées, décrits également au chapitre II, sont illustrés par les figures (IV.4.1) et (IV.4.2) (IV.4.3). Quant aux valeurs de l'effet topographique secondaire indirect sur la pesanteur nous les avons représentées sur les figures (IV.4.4) et (IV.4.5).

37
36

Latitude(degre)

35

34
33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.4.1: Contributions des zones éloignées au terrain topographique (mgal)

37
36

Latitude(degre)

35 34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.4.2: Contribution des zones éloignées au terrain topographique condensé
(mgal)

37
36

Latitude(degre)

35 34 33

37
36

Latitude(degre)

35

34
33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.4.3: Contribution des zones éloignées aux effets topographiques directs sur la pesanteur (mgal)

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.4.4: Contribution des zones éloignées aux effets topographiques secondaires indirects sur la pesanteur (mgal)

37
36

Latitude(decgre)

35

34
33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.4.5: Contribution des zones proches aux effets topographiques

secondaires indirects sur la pesanteur (mgal)

Les résultats de la contribution des zones proches et les zones éloignées aux effets topographiques primaires indirects sur l'ondulation du géoïde sont représentés dans les figures suivantes:

37
36

Latitude(degre)

35 34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.5.1: Contribution des zones proches aux effets topographiques primaires
indirects sur l'ondulation du géoïde (m)

37

36

Latitude(degre)

35

34

33

32

-2 -1 0 1 2 3 4

Longitude(degré)

Figure IV.5.2: Contribution des zones éloignées aux effets topographiques primaires
indirects sur l'ondulation du géoïde (m)

L'effet atmosphérique direct sur la pesanteur ainsi que l'accélération du plateau sphérique condensé et l'accélération résiduelle de l'atmosphère accidenté sont indiqués dans les figures (IV.6.1), (IV.6.2) et (IV.6.3)

37
36

Latitude(degre)

35 34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.6.1 : Effet atmosphérique sur la pesanteur (mgal)

37

36

Latitude(degre)

35

34
33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.6.2: Accélération du plateau sphérique condensé (mgal)

37

36

Latitude(degre)

35

34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.6.3: Accélération résiduelle de l'atmosphère accidenté (mgal)

Les ondulations totales du géoïde N sont obtenues à l'aide de la formule (3.44) en

Vt R

ajoutant les effets topographiques indirects primaires sur la hauteur géoïdale ä ( ) et les

ã 0 ( ö )

Vt R

effets atmosphériques indirects primaires sur la hauteur géoïdale ä ( ) aux ondulations du

ã 0 ( ö )

co-géoïde N^h.

Le tableau (IV.4) présente les statistiques correspondant aux ondulations du co-géoïde Nh et les ondulations du géoïde N.

Paramètre	Min	Max	Moy	Dev-Std	Unité
Ondulation du co-géoïde	6.21	68.91	33,43	13,65	m
Ondulation du géoïde	5,61	68,69	33,20	13,96	m

Tableau IV.4: Statistiques des ondulations du géoïde et du co-géoïde

37
36

Laltitude(degre)

35 34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.7 : Ondulation du co-géoïde N^h (m)

37
36

La ltitu d e(d eg re)

35 34

33

32 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Longitude(degré)

Figure IV.8: Ondulation du géoïde N (m)

Pour mettre en évidence la précision du modèle du géoïde gravimétrique déterminé, les hauteurs géoïdales calculées par voie gravimétrique sont comparées aux ondulations du géoïde dérivées à partir des observations GPS et de nivellement de précision (points GPS nivelés) tel que :

N (GPS/Nivellement) = h_e - H°

Où : h_e est la hauteur ellipsoïdique obtenue par GPS et H° est l'altitude orthométrique déterminée par nivellement. Ces trois quantités doivent correspondre au même ellipsoïde de référence et être de précision comparables.

Dans le cas de notre application, l'absence d'information quant à la précision des mesures gravimétriques, l'inexistence d'un modèle numérique de terrain réel ainsi que l'insuffisance des observations ne permettent pas d'effectuer une analyse de précision réelle et fiable.