Analyse vibratoire et estimation de la durée de vie résiduelle des composants mécaniques de guidage en rotation

CONCLUSION 

Nous avons montré que l'analyse vibratoire utilise des outils mathématiques qui permettent de surveiller l'état des machines tournantes en prélevant périodiquement le signal vibratoire. Ce signal contient une grande quantité d'informations, c'est pourquoi en pratique il est impossible de l'utiliser directement. Dès lors, on utilise des méthodes de filtrage pour extraire le signal utile. De même on peut concevoir des indicateurs d'endommagement des roulements à partir du signal vibratoire afin d'évaluer en temps réel l'état de la machine. En sus, l'analyse vibratoire a aussi l'avantage d'élaborer un diagnostic de l'équipement une fois la panne détectée afin de désigner l'élément défectueux sans démonter la machine, juste à l'aides des fréquences caractéristiques des défauts.

CHAPITRE 4 : ACQUISITION DES DONNEES

INTRODUCTION 

Ce chapitre s'intéresse aux moyens mis en oeuvre pour obtenir les données auxquelles nous allons appliquer les techniques de l'analyse vibratoire. De prime abord, nous allons revenir sur les concepts fondamentaux de la numérisation d'un signal analogique et la notion de spectre d'un signal en posant quelques bases mathématiques sur les concepts de produit de convolution et de peigne de Dirac.

4.1 Notion de spectre du signal 

La rotation de l'arbre d'une machine tournante est le phénomène donnant naissance aux vibrations. Cette rotation étant par nature périodique, les vibrations enregistrées le sont aussi. Le mathématicien français Joseph Fourier (1768-1830) a montré que tout signal périodique de forme quelconque pouvait être décomposé en une somme de signaux élémentaires sinusoïdaux (fondamental et harmoniques, les harmoniques étant les multiples du fondamental) autour d'une valeur moyenne (composante continue) qui pouvait être nulle. L'ensemble de ces composantes forme le spectre du signal ou bande de fréquence occupée par le signal (largeur de bande). La somme de ces sinusoïdes est connue sous le terme de série de Fourier. Si S (S peut désigner l'accélération, la vitesse ou le déplacement) est une fonction du temps, on peut écrire :

La représentation graphique du signal vibratoire en fonction du temps reste assez « illisible ». Elle ne favorise pas l'analyse car tous les termes sont superposés. On a besoin d'un outil mathématique supplémentaire. La transformée de Fourier, lorsqu'elle s'applique à une fonction du temps comme l'accélération, la vitesse ou le déplacement, donne pour résultat une autre fonction dont la variable est la fréquence. Cette nouvelle fonction est appelée spectre. Le spectre est la représentation de l'amplitude d'une grandeur en fonction de la fréquence. On le détermine par la relation suivante :

s(f) = TF(S(t)) = .

Par exemple, le spectre d'un signal sinusoïdal est un pic à la fréquence du signal comme on peut le voir sur la figure suivante :

Figure 13 : spectre d'un signal sinusoïdal

Un signal vibratoire étant la somme de plusieurs sinus, son spectre sera par conséquent une succession de fréquences caractéristiques du signal de départ.Il y a complète dualité entre l'espace temporel et l'espace fréquentiel qui est représenté par la transformée de Fourier. Cela implique l'existence de la transformée de Fourier inverse :

e(t) = TF^-1(E(f)) =

La transformée de Fourier introduit la notion de spectre d'un signal qui est la caractéristique fréquentielle d'un signal. Un signal peut être ainsi défini dans deux espaces, soit temporel soit fréquentiel.

Introduisons deux concepts mathématiques importants du traitement de signal que sont le produit de convolution et le peigne de Dirac.On définit le produit de convolution entre deux signaux en décalant de l'un des deux signaux et en intégrant leur produit sur le temps :

s(t) = e(t)*h(t) = .

On peut montrer aisément la commutativité du produit de convolution en procédant par un changement de variable de la forme u = . On notera que la transformée de s(t) traversant un filtre de réponse impulsionnelle h(t) vaut :

S(f )= E(f ).H(f )

Inversement, si S(f )= E(f )*H(f ) alors s(t) = e(t).h(t)

C'est une propriété très importante. Une multiplication temporelle devient un produit de convolution fréquentiel. De même un produit de convolution temporel devient une multiplication fréquentielle.

L'impulsion de Dirac, notée (t), est une impulsion de durée to, d'amplitude Ato, avec to très petit. C'est une impulsion d'énergie constante. Mathématiquement on la défini de la manière qui suit : t ? 0 (t) = 0, .

De plus e(t₀) = . L'impulsion de Dirac est le neutre de la convolution : s(t) = s(t)*(t).

On en déduit donc que :

TF((t)) = 1

Le peigne de Dirac est un train d'impulsions espacés de Te. On le note P_Te(t) et :

De plus :

TF(P_Te(t)) = P_1/Te(t).

Pour un système linéaire qui, à une d'entrée e(t), fait correspondre la fonction de sortie s(t) par une fonction de transfert h(t), si e(t) = (t) alors S(f) = E(f).H(f) = H(f). Donc s(t) = h(t). On appelle ainsi h, la réponse impulsionnelle.