C)
Modèle Logit
a) Définition :
Généralement, les modèles
économétriques se proposent de projeter une variable
dépendante quantitative en fonction d'un certain nombre de variables
explicatives qui peuvent être quantitatives que qualitatives. Ces
derniers apparaissent sous forme de variables indicatrices et décrivent
un état de fait.
Dans certaines situations, il y a question de décrire une
situation de choix d'un individu statistique, soit une variable
dépendante qualitative qui peut prendre 2 modalités
(dichotomique) ou k modalités disjointes (polytomique).
Dans le cadre des modèles à variables qualitatives
dépendantes, l'application de la méthode de moindre carrée
ordinaire (MCO) ou MCG (moindre carrée généralisée)
est problématique. En effet, la méthode de MCO est une
méthode qui se prête lorsque le nuage de points prend une allure
linéaire ce qui n'est pas le cas lorsque la variable dépendante
est qualitative.
Supposant le cas d'un modèle à variable
dépendante Yi binaire {0, 1} définit par :
 Yi = 1 si l'événement se produit
i = 1.....N
0 sinon
Xi : vecteur ligne de k variables explicatives
 : Vecteur colonne de k paramètres à estimer 
Ui = terme d'erreur aléatoire associé
à la ième observation
Avec E (Ui) = 0
E (Yi / Xi) =  désigne la probabilité conditionnelle de la
réalisation de l'évènement Yi en
présence de la variable Xi. Cette probabilité est une
fonction linéaire des Xi.
L'application de la MCO sur ce modèle, pose un certain
nombres de problèmes dont principalement, l'approximation
linéaire de la variable dichotomique Yi par le
modèle est inadéquate, du fait de la difficulté de rejoindre le
nuage de points observé (xi, yi) par une seule
droite, et la valeur estimée de Yi ( ) n'appartient pas à [0, 1].
En plus, l'hypothèse de la normalité des erreurs
dans le cas du modèle de régression linéaire, est
rejetée dans le cas du modèle à variable qualitative
dépendante :
1- 
La variance des résidus n'est pas constante
(différente de ó2) soit une
hétéroscédasticité des erreurs (soit des
estimateurs par MCO non efficaces)
2- 
L'espérance mathématique des erreurs est
différent de 0 et elle ne peur être nulle que si :
E (Yi) = 0 Pi -  = 0 Pi =  et puisque 0 = Pi = 1 donc 0 = = 1 or les valeurs de Xi peuvent prendre des valeurs en
dehors de l'intervalle unitaire faisant que les valeurs de Pi
n'appartiennent pas à cet intervalle.
Mac Fadden (1974), a développé un modèle
économétrique en terme probabiliste qui permet d'expliquer la
probabilité de réalisation d'un évènement
donné, en fonction d'un certains nombre de variables explicatives aussi
bien qualitatives que quantitatives.
Autrement dit, le raisonnement ne se prête plus à la
réalisation ou non de l'évènement mais à la
probabilité de sa réalisation.
Sur le plan de formalisme Mac Fadden, suppose l'existence d'une
variable latente inobservable  qui selon son signe l'économètre peut juger la
réalisation ou non de l'évènement :
Yi =1 si  > 0
Yi = 0 si  = 0
Avec  est une fonction linéaire de k variables explicatives :
Ainsi : 
Avec F (.) est une fonction de répartition du terme
d'erreur Ui.
Selon Mac Fadden (1974), F est une fonction logistique qui se
présente comme suit :
Donc  (1)
 (2)
* Estimation des paramètres du
modèle
La méthode d'estimation est celle de maximum de
vraisemblance. La fonction de vraisemblance se présente comme
suit :
 (3)
Ou
 (3-1)
Les estimateurs de maximum de vraisemblance sont ceux qui
maximisent le logarithme de la fonction de vraisemblance. D'après (1),
(2) et (3-1) :
 (4)
Soit  ; en substituant ce terme dans la relation (4) on aura :
L'estimateur de maximum de vraisemblance est la racine de Log
L.
Condition de 1er ordre :
 (5)
Étant donné que, les équations
associées au modèle Logit sont non linéaires en â,
l'équation (5) ne peut pas être résolue analytiquement. La
solution, pour déterminer la racine de ces équations, est de
procéder par des algorithmes itératifs tels que la méthode
de Newton-Raphson ou la méthode de score.
Soit la matrice d'information I (â) donnée par la
variance de la condition du 1er ordre :
La méthode itérative consiste donc, à donner
une valeur initiale de â (â0), on calcule S
(â0) et I (â0), ensuite, on applique, par
exemple, la méthode de score pour calculer la valeur
â1 :
La formule de récurrence s'écrit alors comme
suit :
Puisque la quantité d'information I (â) est
définie positive à chaque itération, alors la
procédure itérative va converger vers le maximum de vraisemblance
indépendamment de la valeur initiale.
* Qualité du modèle
Afin d'apprécier la qualité du modèle, on se
réfère au Pseudo R2 ainsi qu'à la table de
succès de prédiction.
Le pseudo R2 est définit comme suit : 
Avec LogL (Y, â) : log de vraisemblance du
modèle complet (non contraint)
LogL (Y, â = 0) : log de vraisemblance du
modèle contraint.
Plus Pseudo R2 est proche de 1 plus les variables
retenues sont pertinentes pour expliquer le comportement de Yi.
Réciproquement, si Pseudo R2 s'approche de 0 ces variables ne
le sont plus pertinentes. Cependant une valeur de 0,4 pour le Pseudo R2
peut être acceptée.
La confrontation des données réelles à
celles estimés par le modèle, permet d'étudier la
qualité du modèle en terme de pourcentage de prédictions
correctes :
|
Prédit
|
|
1
|
0
|
|
observé
|
1
|
N11
|
N10
|
N1.
|
|
0
|
N01
|
N00
|
N0.
|
|
N.1
|
N.0
|
N
|
Les éléments de la diagonale (en
gras) sont les prédictions correctes
Le pourcentage de prédiction correcte est donné
par . Généralement le seuil critique est égale à
0,5 (50 %) dans la plupart des logiciels.
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