Memoire Online - Méthodes géostatistique pour l'interpolation et la modélisation en 2d/3d des données spatiales

Les travaux de recherche présentés dans ce mémoire ont été effectués au sein du laboratoire LEMEL (Laboratoire d'Etude et Modélisation des Environnements Littoraux). Il est rattaché à la « Faculté de Science et Science de l'Ingénieur » de l'Université de Bretagne Sud. C'est un groupe pluridisciplinaire (géologues, biologistes, mathématiciens, statisticiens...) qui s'attache à modéliser les écosystèmes à l'interface terre/mer. Il passe pour cela par l'intermédiaire de SIG (Système d'Information Géographique) afin d'acquérir, de consulter et de gérer l'information géographique.

Ce mémoire de stage présente l'élaboration d'une carte de la profondeur au toit du socle rocheux à l'ouest de l'île aux Moines et une carte localisant les crépidules au nord ouest de l'île de Bailleron (golfe du Morbihan). Une image 3D au du toit du substratum fournit un outil pour comprendre comment se répartissent les corps sédimentaires dans l'espace. Localiser les zones à présence de crédidules permet de lutter contre cet envahisseur. La connaissance, des profondeurs au toit du substratum^* ou la quantité de crépidules^**, en tout point d'une zone, nécessite :

et sédimentologique que l'on rapporte à des coordonnées géographiques précises (latitude / longitude)

données de mesure, les profondeurs en tout point de la zone : il s'agit alors d'une estimation mathématique de cette profondeur.

Elles ont toutes leurs avantages et inconvénients. Mais dans tous les cas, le principe reste le même : une valeur est estimée pour des sites non échantillonnés, sur la base d'observations existantes.

Le premier chapitre du rapport recense différentes approches déterministes pour interpoler un ensemble de données. Une description très générale en est fournit.

Le deuxième chapitre, propose une analyse des techniques géostatistiques et des conditions de leur mise en oeuvre. Les fondements mathématiques ainsi que leurs démonstrations sont examinées. Le krigeage et l'analyse variographique, une étape préalable du krigeage, sont analysés et commentés. Elles s'appuient sur une synthèse bibliographique.

Les chapitres III à VI présentent une application des méthodes géostatistiques pour aboutir un modèle numérique de terrain au toit du substratum. Ils fournissent également des conseils sur la nature de l'information qu'il est nécessaire de recueillir pour utiliser efficacement ces méthodes. Ils préconisent une démarche à suivre pour interpréter les résultats. Ils mettent en évidence les avantages et les limites des méthodes géostatistiques.

Le dernier chapitre dévoilera une application des méthodes d'analyse spatiale concernant
uniquement la position géographique des objets, et des méthodes non stochastiques présentées

* Substratum : base (souvent un socle rocheux ou cristallin) sur laquelle repose les sédiments. ** Crépidule : mollusque gastéropode

en première partie. Elles ont pour objectif d'identifier des zones géographiques occupées par les crépidules.

L'interpolation spatiale est une procédure qui consiste à estimer la valeur d'un attribut pour des sites non échantillonnés. Dans le contexte de ce stage, nous utilisons l'interpolation spatiale pour mettre en oeuvre des algorithmes mathématiques ou probabilistes afin d'estimer la profondeur de la roche entre les points d'échantillonnages.

Il existe de nombreuses méthodes d'interpolation parmi lesquels il faut faire un choix. Nous distinguerons deux familles :

- les méthodes d'interpolation classiques basées sur des algorithmes purement déterministes.

- Les méthodes d'estimation géostatistiques qui s'appuient sur une modélisation probabiliste du phénomène étudié.

Les méthodes s'appliquent à des variables régionalisées, c'est-à-dire des fonctions numériques qui prennent leurs valeurs dans des régions délimitées de l'espace appelées champ. Dans notre cas, la variable régionalisée est la profondeur au toit du substratum. Le champ est la zone d'étude décrite dans le chapitre III.

1.1/ Forme générale de l'interpolation linéaire

Pour estimer la valeur ponctuelle en un site, nous utilisons des combinaisons linéaires pondérées. La distance entre les lieux d'observations a une influence sur ce que l'on observe. Autrement dit, les valeurs dans deux localités voisines sont souvent plus semblables que dans deux localités éloignées. Les poids doivent donc tenir compte non seulement de la disposition des observations les unes par rapport aux autres, mais aussi de la distance entre le site à estimer et les sites observés.

1.1.1/ Méthodes d'interpolation par partitionnement de l'espace 1.1.1.1/ Polygones de Thiessen

La méthode consiste à partitionner l'espace géographique en polygones, puis à attribuer une valeur à chacun des polygones. Elle permet de déterminer un zonage où la valeur de la variable à prédire est à priori la même que celle du site d'observation^*.

Supposons que l'on désire estimer la valeur en un point S0 du champ (cf. figure 1.1). Ce point appartient nécessairement à l'un des polygones d'influence des sites d'observations.

Un polygone d'influence pour l'observation C s'obtient en traçant les médiatrices des segments joignant C aux sites voisins.

On attribue à S0 et à tout point appartenant au même polygone, la valeur du site ayant ce polygone d'influence. Sur la figure 1.1, la valeur estimée au point S0 sera identique à celle du site C.

La méthode de Thiessen peut s'améliorer tout en gardant le même principe. L'idée de Sibson est de construire un polygone de Thiessen autour du site à estimer. Dans un deuxième temps calculer les surfaces d'intersection (P(S0,i)) entre le polygone précèdent et ceux des sites voisins. Enfin, Sibson propose une estimation de S0 à l'aide d'une combinaison linéaire des valeurs des sites voisins (Z(S0)) pondéré par les surfaces P(S0,i).

P(S0,i) : surface de l'intersection du polygone de l'observation i et celle de S0

S 0

Z ( )

P S i

( , )

⁰ Z P ()

S 0

()

S 0

La méthode de Sibson a les propriétés suivantes : - l'estimation en S0 est unique

La méthode d'interpolation par triangulation consiste à diviser le champ en triangles disjoints, dont les sommets sont les sites échantillonnés, puis à interpoler à l'intérieur de chaque triangle.

La construction des triangles n'est pas unique, différentes approches sont donc proposées.

On peut à partir du diagramme de Thiessen, en construire le dual. C'est à dire construire un nouveau diagramme où cette fois, on relie par un segment toutes les paires de sites dont les régions de Thiessen correspondantes sont adjacentes (les points séparés par une arête de Thiessen).

Polygone de Thiessen

Polygone de Delaunay

On observe que la triangulation de Delaunay opère seulement dans l'enveloppe convexe des sites d'observations et ne recouvre donc pas entièrement le champ.

Supposons que le point S à estimer se trouve à l'intérieur du triangle formé par les sites S1,S2, S3 (fi_gure 1.3). L'estimation de la valeur de la variable régionalisée au point S par interpolation linéaire s'écrit :

L'interpolation linéaire a les propriétés suivantes : - l'estimation en S0 est unique

- la triangulation ne permet pas d'extrapoler les valeurs au-delà de l'enveloppe convexe des sites d'observation.

Les méthodes d'interpolations précédentes ne considèrent, pour estimer la valeur d'un site S0, que les sites d'observation immédiatement voisins. Elles ignorent par conséquent une grande partie de l'information disponible. Les méthodes barycentriques permettent de prendre en compte un nombre plus important de données.

Méthodes géostatistique pour l'interpolation et la modélisation en 2d/3d des données spatiales

Introduction : présentation de l'étude

1.1/ Forme générale de l'interpolation linéaire