Economie experimentale et théorie des jeux.

2-1- jeux à deux joueurs et à somme non nulle :

une étude expérimentale

Comme nous l'avons évoqué auparavant cette expérience à été réalisée par l'économiste SHUBIK et elle remonte à 1962 malgré son ancienneté elle reste toujours une référence importante pour les théoriciens-expérimentalistes, sa célébrité est due à la fois à sa simplicité, à sa clarté et à l'importance^2(*)6 des résultats qu'on a pu tirer.

Avant de présenter son expérience, SHUBIK commence son article par une présentation des différentes formalisations d'un jeu quelconque, une présentation sur laquelle nous ne revenons pas puisqu'elle est déjà évoquée dans le deuxième chapitre^2(*)7. Dans un deuxième point, l'auteur présente les différents concepts de solutions, connus jusqu'à cette date, pour les jeux à deux joueurs et à somme non nulle.

Dans les points qui suivent l'auteur présente l'expérience proprement dite ( les différents jeux expérimentaux qu'il a essayé d'étudier, les hypothèses et les conditions sous-tendant l'expérience, la confrontation des solutions théoriques et les choix des joueurs et enfin les résultats de cette confrontation).

2-1-1- les concepts de solutions proposés pour les jeux à deux

joueurs et à somme non nulle

SHUBIK affirmait que la théorie des jeux telle qu'elle se présentait à cette date était une théorie normative, il considérait que les efforts fourni dans le sens de la conception des jeux expérimentaux sont très importants pour l'acheminement vers, premièrement la validation des théories qui se prétendaient être descriptives et deuxièmement vers la production ou l'apparition de nouvelles théories descriptives.

L'auteur se limitait dans cette étude aux jeux à deux personnes, à durée finie, et à somme non nulle. Soit P₁(s₁, s₂) le paiement du premier joueur s'il joue sa stratégie s₁ et si le second joueur joue sa stratégie s₂ ; de manière similaire on peut définir P₂(s₁, s₂).

Soit le jeu présenté dans la matrice ci-dessous (figure 1) :

1

2

1 2

5 ; 2	-10 ; -13
4 ; 1	-20 ; -23

Fig 1

Nous remarquons qu'il s'agit d'un jeu à somme non nulle ou d'une manière générale d'un jeu à somme non constante ( la somme des paiements des deux joueurs diffère d'un casier à un autre).

VON NEUMANN et MORGENSTERN ont suggéré que dans les jeux à somme non constante les joueurs doivent maximiser conjointement leur bien être. Cela suppose évidemment qu'ils communiquent entre eux et qu'il y a possibilité de paiements latéraux. Mais dans leur description de ce jeu ils n'ont pas inclus d'une manière explicite ce processus de négociation ainsi que la possibilité de paiement latéraux. Ces opérations existent mais elles prennent place hors du jeu. La description du comportement des joueurs dans ce jeu est donnée mathématiquement par la condition suivante :

s₁ s₂

Max. Max. (P₁(s₁, s₂) + P₂(s₁, s₂)) [1]

Ceci veut dire que chaque joueur doit choisir sa stratégie telle que la somme des paiements soit maximum (choisir le maximum joint)^2(*)8. Appliquée au jeu de la figure 1 cette condition suggère que chaque joueur doit jouer sa première stratégie .

NASH avait introduit une théorie des jeux non coopératifs^2(*)9 qui se prétend être une généralisation de la théorie de l'Équilibre Economique Général. La théorie de NASH est appliquée pour les situations qui se caractérisent par l'absence de communication entre les joueurs ainsi que l'absence des paiements latéraux. NASH montre que pour n'importe quel jeu fini, il existe au moins une paire de stratégies s₁^* et s₂^* tel que les deux conditions suivantes :

[2]

s₁

s₁^* = Max. P₁(s₁, s₂^*)

s₂

s₂^* = Max. P₁(s₁^*, s₂)

sont simultanément satisfaites par le choix de s₁^* et s₂^* par le premier et le deuxième joueur respectivement. En d'autres termes, si le premier joueur croit que le second joueur utilisera s₂^* contre lui, sa meilleure réaction sera le choix de s₁^* et vice versa.

A coté de ces deux solutions, SHUBIK avance deux autres solutions moins acceptables mais possible dans un environnement tel que celui des jeux à deux joueurs à somme non nulle.

La troisième solution est envisageable dans le cas où les deux joueurs sont très pessimistes, dans ce cas ils s'efforcent à minimiser les pertes qu'ils peuvent concéder. En d'autres termes, en supposant que l'adversaire est un ennemi chacun croit que l'autre essayera toujours de minimiser sa récompense, il s'efforce donc de maximiser son résultat dans ces conditions. Formellement Ceci peut être exprimé de la façon suivante :

[3]

s₁ s₂

Max. Min. P₁(s₁, s₂)

s₁ s₂

Max. Min. P₂(s₁, s₂)

La quatrième solution avancée par SHUBIK est celle qui stipule que les joueurs peuvent trouver avantageux de maximiser la différence en terme de gain entre eux. La conséquence sera donc la maximisation du gain individuel. C'est la manière de penser qui prévalent chez les spéculateurs. Formellement, on peut représenter ce cas de la manière suivante :

s₁ s₂

Max. Min. (P₁(s₁, s₂) - P₂(s₁, s₂)) [4]

Ce sont là les quatre solutions proposées par SHUBIK pour les jeux à deux joueurs et à somme non nulle. Dans ce qui suit nous allons présenter comment SHUBIK a pu, en faisant recours aux jeux expérimentaux, étudier la validation théorique de ces concepts de solution.

2-1-2- Quelques jeux expérimentaux et leurs solutions

* ²⁶ - l'expression « résultats importants » ne doit pas être comprise dans un sens qualitatif. Comme on va le voir l'auteur a trouvé des difficultés pour conclure de manière ferme sur la validité théorique d'un des solutions théoriques proposées, mais son expérience a aidé beaucoup les expérimentalistes à changer leur manière de penser quant à la façon avec laquelle les expériences sont conçues, ceci afin de rendre compte de certains aspects humains dans leur modélisation (altruisme, réciprocité, confiance, sympathie, etc.).

* ²⁷ - Cf. supra chapitre II p.39.

* ²⁸ - LUCE et RAIFFA ( 1957) ont affirmé que la répétition des jeux à somme non nulle peut mener à l'adoption de la solution du maximum joint. Ainsi, ils déclaraient : « We feel that in most cases (  ils discutent ici le cas des jeux à somme non nulle) an unarticulated collusion between the players will develop....This arises from the knowledge that the situation will be repeated and that reprisals are possible » p. 101 dans LUCE R.D., RAIFFA H (1957), Games and Decisions : Introduction and Critical Survey, New York, wiley. Cité dans COLMAN A. (1981), op. cit, p. 115.

* ²⁹ - Cf. supra. p. 51.