2.4 Modèle géométrique inverse :
F27, 28] :
Le modèle géométrique direct d'un robot
permet de calculer les coordonnées opérationnelles en donnant la
situation de l'organe terminal en fonction des coordonnées articulaires;
le problème inverse consiste à calculer les coordonnées
articulaires correspondant à une situation donnée de l'organe
terminal.
Lorsqu'elle existe, la forme explicite qui donne toutes les
solutions possibles -il y a rarement unicité de solution-constitue ce
qu'on appelle le modèle géométrique inverse (M.G.I.).on
présentra trois méthodes pour le calcul du M.G.I.
La méthode de Paul : Elle traite
séparément chaque cas particulier et convient pour la plupart des
robots industriels.
La méthode de Pieper : Elle permet de
résoudre le problème pour les robots à six degrés
de liberté possédant trois articulations rotoïdes ,d'axes
concourants ou trois articulations prismatiques.
La méthode générale de Raghavan et
Roth : on donnra la solution générale des robots
à six articulations à partir d'un polynôme de degrés
au plus égal à 16.
Le modèle géométrique inverse consiste
à trouver l'angle de chaque articulation pour une position et
orientation données de l'effecteur (l'élément
terminal).
Le problème posé est le suivant
: étant donné la position et l'orientation de l'outil
par rapport à la situation de travail, comment calculer l'ensemble des
angles articulaires qui accomplissent cet objectif ? La réponse à
cette question constitue le modèle géométrique inverse du
robot manipulateur.
La situation du problème, concernant la recherche des
angles articulaires nécessaires, pour
positionner le repère de
l'outil, par rapport au repère de la station de travail est
décomposée
en deux parties. En premier lieu, on
détermine les transformations nécessaires pour trouver
1 Q
X
R
Y
Q0
1
Q0
.
29 le repère du poignet, par rapport au repère
de la base, et après, le modèle géométrique inverse
est utilisé pour trouver les angles des articulations.
Une approche analytique a été utilisée
pour un robot série, (Craig), elle consiste à éliminer
à chaque étape une des coordonnées
généralisées (articulaires) par la multiplication de la
matrice de transfert finale 0
T6 par les matrices de transformation
intermédiaires pour le cas d'un robot à six degrés de
liberté. La matrice de transformation 0
T6 s'écrit sous la forme
|
T 0
6
|
r11
r21
r 31
|
r12
r22
r32
|
r 13
r23
r33
|
dx
d y
dz
|
0001
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 )
è è è è è
è
(2.8)
5
= T T T T T T
0 . . . . .
2
1 3 4
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
Par exemple la première étape sera comme suit : On
multiplie de part et d'autre
la matrice ( 1 )
T 1 è , le résultat
sera : [ ] 1
1
0 T 1 . T = T
0 - (2.9)
0
1 6
On s'intéresse toujours à la dernière
colonne de la matrice, qui contient à chaque étape les
équations découplées qui permettent de résoudre le
problème du modèle géométrique inverse, toutefois
le modèle géométrique comporte aussi des
inconvénients :
La non unicité du modèle
géométrique inverse implique qu'il existe plusieurs "chemins"
pour se rendre d'un point à un autre. Le traitement par incrément
peut amener à des imprécisions. Des singularités
mécaniques et / ou mathématiques apparaissent.. Une haute
précision de solutions obtenues n'est pas nécessaire puisqu'il
suffit de fournir à l'utilisateur une vision globale, le calcul des
accroissements est à chaque fois effectué à partir d'une
nouvelle configuration exacte du robot. Quant au problème des
singularités, il existe plusieurs méthodes mathématiques
pour les traiter et les éviter.
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