Etude, développement et mise en oeuvre de deux observateurs de position pour la commande sans capteurs de la Machine Synchrone à Aimants Permanents (MSAP)

PARTIE 2

ANALYSE ET MISE EN OEUVRE DES

OBSERVATEURS DE POSITION POUR LA

COMMANDE DE LA MACHINE SYNCHRONE

A AIMANTS PERMANENTS

CHAPITRE 2

DIMENSIONNEMENT DES OBSERVATEURS ET SIMULATION

I. INTRODUCTION

Nombreuses sont les techniques d'estimation de position et de vitesse du rotor de l'arbre des machines électrique. Dans notre étude nous nous intéressons aux méthodes basées sur les observateurs, plus particulièrement à un observateur d'état des flux rotoriques d'ordre minimal à savoir l'ordre deux. Durant notre période de stage nous avons étudié en premier lieu un observateur réduit qui donne une estimation de la vitesse et suite à une intégration la position du rotor. Nous avons laissé tombé cet observateur qui, dans son modèle d'état, fait intervenir les équations mécaniques qui demeurent non maîtrisables à cause de la variation des paramètres mécaniques. Cet observateur sera présenté à la fin de ce chapitre avec les résultats de simulation.

Dans un premier lieu, nous étudierons un observateur de Luenberger d'ordre quatre basé sur
la reconstruction des flux rotoriques. La position électriqueè_e , est déterminé en calculant

Ö

l'arc tangente de m â . Cet observateur proposé dans [BATZ-LEE_1 ,2,3] présente

Ö m á

d'énormes avantages mais nous jugeons qu'il nécessite un temps de calcul important vu l'ordre qui est assez grand (ordre quatre). C'est ainsi que nous avons eu l'idée de proposer de réduire l'ordre de cet estimateur puisque une partie du vecteur d'état peut être reconstituée par une combinaison des entrées, des mesures et des états reconstitués.

C'est cet observateur d'ordre deux qui fera l'objet de notre étude dans la deuxième section de ce chapitre. Nous présenterons le dimensionnement, le schéma de principe ainsi que la simulation de notre estimateur et nous comparerons les résultats avec les deux autres observateurs étudiés.

En dernière position nous présenterons le premier observateur étudié qui est basé sur la reconstruction de la vitesse avant de faire conclusion de ce chapitre.

27

II. OBSERVATEUR DE POSITION DU ROTOR BASE SUR LA RECONSTRUCTION DES FLUX STATORIQUES

1. Introduction

Nous étudierons dans cette section un observateur d'état pour reconstituer le vecteur d'état constitué des deux composantes du flux statoriques et des deux composantes du flux rotorique dans le référentiel biphasé (á,â). Nous devons avoir tout d'abord un modèle de la machine dans ce même référentiel pour ensuite se baser sur pour synthétiser notre observateur. Dans cette section nous rappelons le modèle de notre MSAP avec les équations aux flux, ensuite nous allons valider ce modèle puis nous passons au dimensionnement de l'observateur puis à sa simulation.

2. Modèle de la machine dans le référentiel (á,â)

Ici nous allons nous intéresser au modèle de la machine dans (á,â) suivant :

di

v R i L e

á = á + + á

á

. c .

dt

di

v R i L e

â = â + + â

â

. c .

dt

Ö á,â = Liá,â +Ö _m (è)

^m á â,

dÖáâ = á â

di d Ö

, ,

+

L .

dt dt dt

3. Equations d'état

A partir des équations ci-dessus, nous établissons les équations d'état de la machine de manière à avoir :

T

Entrées : u=v_á v_â

T

Vecteur d'état : x=Ö_á Ö _â Ö _má Ö mâ

T

Sorties : y=i_á i_â

-ô

0 0 ô

1 0

x Ax Bu

& = +

y Cx

=

0 0

- ô

000

0 00

ù e

01

B= et

1 0 1 0

L L

-

0 1 0 1

L L

-

A

C =

ô
-ù_e

00

00

d Ö á

dt

Nous détaillerons par la suite les calculs qui nous ont permis de déterminer ce modèle d'état.

28

Nous remarquons bien ici que la matrice d'état A dépend de la vitesse du rotor donc nous avons un modèle non linéaire car la vitesse est étroitement liée à la position que nous voulons en fin de compte estimer.

4. Validation du modèle de la machine

L'observateur d'état se base sur le modèle d'état de la machine que nous venons d'établir, pour s'assurer que ce modèle (qui a pour vecteur d'état le vecteur (les flux)) converge vers le premier modèle étudié, nous avons jugé nécessaire de simuler ce modèle et comparer le vecteur d'état avec les flux déterminés par calcul simple à partir du modèle que nous avons auparavant établit dans le référentiel de Park d-q. Afin de ne pas compliquer la simulation nous supposons que la vitesse est constante et que la pulsation rotorique ù_e l'ai trivialement aussi.

Figure II. 17 : Schéma de simulation du modèle d'état de la MSAP

4.1. Résultats de simulation de la Validation du modèle de la machine

Ce modèle a pour entrées les tensions et pour sorties les courants statoriques. Dans notre simulation nous nous intéressons par contre à la visualisation des composantes du vecteur d'état afin de s'assurer que ce modèle nous donne des flux qui convergent vers les flux déterminés par calcul à partir du modèle dans d-q que nous avons déjà validé.

Nous remarquons ici dans la Figure II.18 que le flux converge très rapidement, ce qui nous permet d'affirmer que le modèle présenté est correcte et que nous pouvons faire la synthèse de l'observateur basé sur ce modèle.

29

Figure II.18 : Flux rotoriques Ö m á , Ö m â

5. Estimation de la position du rotor

5.1. Synthèse de l'Observateur de Luenberger d'ordre complet 5.1.1. Equations d'état et principe

En considérant le modèle présenté ci haut on a :

v = Ö Ö +

R

á á á

( )

- m

L

R

d Ö

â

+

vâ =

dt

Ö Ö

â â

- m

L ( )

Représentation d'état :

On modélise le système de façon à considérer :

T

Entrées : u=v_á v_â

Vecteur d'état : x =Ö_á Ö _â Ö _má Ö mâ T

Sorties : y =i_á i â T

D'après les équations précédentes on a :

d R Ö á = - v dt L á d R Ö â = - v dt L â	( ) Ö - Ö á m á ( ) Ö - Ö â â m	en posant ô =	R
			L

30

On sait que

Ö = Ö = m m ( ) ( ) è ù t

Ö = Ö m m á Ö = Ö m m â

cos( ) ù e t sin( ) ù e t

d
dt
d

dt

Ö = - Ö = Ö

m m e m

á ù ù ù

sin( )

t â

e e

Ö = Ö = Ö

m m e m

â ù ù ù

cos( )

t á

e e

On a :

Ö - ô ô

0 0 1 0

Ö

á á

d v

Ö 0 0 0 1

- Ö

ô ô

â â á

= +

dtvÖ 0 0 0 0 0
- ù Ö m á e m á â
Ö 0 0 0 0 0

ù Ö

m â e m â

1 ( )

Ö - Ö

iá =
i â=

L
1
L

á á

m

( )

Ö - Ö

â â

m

1 0 1 0

L L

-

i L L

0 1 0 1

-

â

i á

Ö á
Ö â

Ömá

Ö má

On a le système		x Ax Bu & = + y Cx =		avec
-ô	0 0 ô		1 0

0 0

- ô

000

0 0 0

ù e

0 1

B= et

1 0 1 0

L L

-

0 1 0 1

L L

-

A

C =

ô
- ù_e

00

00

Ici on constate bien que la matrice d'état A dépend de la pulsation ou vitesse électrique ù_e.
Nous avons un modèle non linéaire. Pour considérer ce système comme un système linéaire pendant une période d'échantillonnage, nous devons poser l'hypothèse suivante.

y' Nous considérons très lente la variation de la vitesse par rapport à la fréquence d'échantillonnage.

31

5.1.2. Estimation de la position du rotor

La position du rotor è_e est donnée par : à m

Ö

è_e = Arctg â

Ö m á

à

xà 4

è = Arctg On a besoin de reconstruire x3 et x4

e à

x₃

Observateur de Luenberger (ordre n=4)

x Ax Bu

&= +

On a

y Cx

=

x Ax Bu

& à à

= +

y Cx
à à

=

Ce qui donne un observateur d'ordre 4 (même ordre que le système) à

x & =

Fx Ju Gy Fx Ju GCx

à à

+ + = + +

x x Ax Bu Fx Ju Gy

& &

- = + - - -

à à

x ~ & = Fx ~

+ - - + -

( A F GC ) x ( B J)u

x ~ &= Fx ~ = ( A - GC )x ~

G est le gain d'observateur x~ l'erreur d'estimation

Remarque

Pour avoir une bonne estimation, il faut que x~ tend vers 0 pour t tend vers l'infini. x ~ &= Fx ~ implique que les valeurs propres de F doivent impérativement être stables.

Sous cette condition, on détermine la matrice G (gain par placement de pôle). Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le gain G, soit par placement de pôle directement avec la forme canonique d'observabilité soit en utilisant l'algorithme général d'Ackermann basé sur un model quelconque du système.

La dynamique de l'observateur dépend donc de la dynamique du polynôme
caractéristique sI - (A - GC) = 0 . On se propose un polynôme caractéristique suivant :

ë ë = 1 2		*	(conjugué)
f(s)=(s-ë1)(s-ë2)(s-ë3)(s-ë4) avec	et ë ë = 1 3

ë ë
=

2 4

donc 2 * 2

f ( s ) = ( s - ë ₁ ) ( s - ë ₁ )

32

5.1.3. Observabilité

La condition d'observabilité du système est donnée par le rang de la matrice d'observabilité

'

O C CA CA CA

2 3

=

Il faut que cette matrice soit de rang complet. Cette matrice n'est pas carrée on détermine l'observabilité du système par la méthode suivante :

- on calcule ^T

O puis T

Q_s = O · O

- on détermine le rang de Q_s

Dans notre cas O est une matrice (8*4) et Q (4*4) : matrice carrée.

On montre que, quelle que soit ù_e vitesse angulaire électrique du rotor supérieure à zéro le système est observable [BATZ-LEE_1 ,2].

5.1.4. Détermination de la matrice gain de l'observateur G :

1 0 On pose : I=et 0 1

J=

0 1 - 10

Nous choisissons une forme de la matrice gain G comme la suivante :

g g

11 12

g g

G

21 22

g g

31 32

g g

41 42

= avec

g g g

= =

11 22 1

g I g J

1 2 2 2 2 2

× ×

+

g I g J

+

3 2 2 4 2 2

× ×

g g g

= =

on a G =

31 42 2

g g g

= - =

21 12 3

g g g

= - =

41 32 4

g R

= -

1

g2	=	Rëë 1 2

ù _e ô

On montre que ( )

R ë ë

+

1 2

g =

3

ô

g₄ =

R ( )

ë ë ù ²

- - + +

1 2 e

ù_eô

Ce qui nous donne la matrice gain de l'observateur :

33

-R		-	R ë ë 1 2
w t e R R ë ë 1 2 -						ë ë * = 1 2
G=	ù e ô ( ) ( ) ë ë ë ë ù ^2 R R 1 2 1 2 + - + e				Avec		et ë ë = 1 3

ë ë
=

2 4

ô ù _e ô

-R

( ) ( )

- + + +

ë ë ù ë ë

² R

1 2 e 1 2

ùô ô

e

ë _i valeurs propres de (A- GC)

Le schéma de principe de l'observateur est donné par la figure suivante, avec comme entrées de l'observateur les tensions et les courants statoriques dans le référentiel biphasé (a,f3). L'observateur de Luenberger utilise les matrices A, B et C du modèle de la machine sur lequel on se base pour le synthétisé.

váâ

+

^àx&

A

xà

ùà _e

G

atan

C

è^à_e

yà

abc/af3

+

iáâ

abc/af3

B

ù_e

=

ùà _e

( )

( ) ( )

v _á Ri á v _â Ri â

- + -

2 2

Ö

m

MSAP

vabc

iabc

Figure II.19 : Schéma de principe de l'Observateur d'état de notre modèle de la MSAP

5.2. Estimation de la vitesse

Nous remarquons bien ici que la matrice d'état A dépend de la pulsation rotorique, donc nous avons un modèle non linéaire car non seulement cette pulsation varie en fonction du temps mais elle est étroitement liée à la position que nous voulons en fin de compte estimer. Nous devons à chaque instant avoir une estimation de la vitesse afin de l'insérer dans la matrice A que nous noterons par la suite Aoe. Considérant l'inertie de la MSAP, nous

34

pouvons assimiler la pulsation rotorique égale à une constante durant une période d'échantillonnage, ainsi le modèle devient linéaire.

On sait qu'en régime permanent, = 0

di donc on a :

dt

dÖ má

v Ri Ri Ri t

= + = ? Ö = ? Ö cos( )

á á á á

ù ù ù

e e e

m m

á

dt

v Ri Ri t

â â

= + Ö = + Ö

m m sin( )

â â

ù ù ù

e e e

ù e Ö m =

- Ö

ù e m

= -

v Ri

á á

cos( )

ù t

e

ùÖ

e

m wet v Ri

sin( ) = -

â â

( ) 2 ( )2

v Ri v Ri

á á â â

- - -

( )

( ) ( )

v _á Ri á v _â Ri â

- + -

ù_e

2 2

=

Ö

m

Cette estimation est valable en régime permanent et même à très basses vitesses 5.3. Justification du choix des valeurs propres

Nous choisissons les valeurs propres de l'observateur par un placement de pôle adéquat. En effet pour avoir une bonne dynamique de notre observateur, nous choisirons des valeurs propres très rapides que les pôles du système (processus) et aussi plus rapides que la pulsation rotorique. Toutefois il faut noter que le fait de prendre des valeurs propres plus rapides, l'erreur de l'observateur converge plus rapidement vers zéro mais l'on risque d'augmenter la bande passante et cela peut amplifier les bruits. Dans un premier temps, nous choisissons des valeurs propres assez grandes qui assurent la convergence rapide de l'erreur d'estimation.

Après modélisation de l'ensemble convertisseur machine, nous nous rendons compte que

1

l'ensemble se comporte comme un premier ordre dont on le modélise comme suit :

1 +ô_ùs

avec ô_ù déterminé par des essais de la machine à vide.

Pour choisir les pôles du gain de l'observateur, il faut tenir compte du fait que l'observateur
doit avoir une dynamique beaucoup plus rapide que l'ensemble moteur convertisseur. Pour

cela, nous avons pris en premier lieu les pôles

ë ë
=

0 1

== 1 10
ô w

Nous choisissons ë₁ = -90 puis dans un deuxième temps des valeurs propresë 1 = -200. 5.4. Choix de valeurs propres dynamiques

Le fait de choisir des valeurs propres qui ont une dynamique rapide par rapport à la pulsation électrique rotorique ù_e réduit l'erreur de l'estimation de position.

35

Nous proposons donc une stratégie qui permet de choisir des valeurs propres adaptées à la vitesse de l'arbre du rotor pour essayer de gérer la bande passante et de ne pas amplifier gratuitement les bruits.

ë 0 = ù e

( - k reel + jkim), cette méthode est très pratique elle marche très bien en simulation

comme nous allons le voir dans la section qui suit.

5.5. Utilisation de l'observateur pour la commande de la machine

Notre objectif final est de réaliser la commande sans capteur de la machine synchrone à aimants permanents. C'est ainsi que nous envisageons faire la synthèse de notre observateur d'état afin de boucler le système non avec les grandeurs mesurées mais avec les grandeurs estimées à l'instar de la position et de la vitesse.

6. Simulation sous MATLAB SIMULINK

6.1. Résultats de simulation et interprétations

Nous utilisons l'observateur en boucle fermée pour la commande vectorielle de la machine. Dans la simulation, nous démarrons la commande avec les grandeurs mesurées et après quelques secondes nous basculons vers les grandeurs estimées grâce à un switch que nous avons judicieusement placé. Dans un premier temps nous réalisons la simulation en ne tenant pas compte du couple de charge. Nous appliquons une charge Cr de 0,14Nm à t=4s. Cette charge correspond au couple de charge de la machine à courant continu à vide qui est accouplée à notre machine synchrone.

Nous remarquons ici dans la Figure II.20, que le couple présente un pique lorsque nous appliquons l'échelon et il converge bien vers la valeur du couple résistant à vide qui est de 0,14Nm. La vitesse de référence étant fixée à 1000tr/min, nous remarquons bien que aussi bien la vitesse mesurée que celle estimée convergent vers la référence, l'observateur répond avec une dynamique très rapide, comme nous voyons dans la Figure II.21, les deux courbes sont pratiquement collées. Il en est de même pour les positions électriques mesuré et estimé de la Figure II.22, ceci en boucle fermée ; c'est-à-dire que nous réalisons la commande ici, non pas à l'aide des grandeurs mesurées mais avec les position et vitesse estimées.

temps (s)

temps (s)

Figure II.20 : Couple Cem (Nm) Figure II.21 : Vitesses mesurée et estimée tr/min

36

temps (s)

Figure II.22 : Angles mesurée et estimée en rad

6.2. Simulation en tenant compte des bruits et de l'OFFSET

Dans cette section, nous ajoutons intentionnellement des bruits sur les grandeurs mesurées (tensions et courants) et un OFFSET pour essayer de s'approcher un peu de la réalité. Dans le cas des valeurs propres statiques judicieusement choisies, nous avons les résultats suivants de simulation.

temps (s) temps (s)

Figure II.23 : Couple électromagnétique Figure II.24 : vitesses mesurée et estimée

Nous remarquons aussi comme pour le cas idéal sans bruits ni OFFSET que l'allure des courbes est pratiquement la même sauf que les grandeurs estimées présentes quelques ondulations négligeables de l'ordre de 0.5%.

temps (s) temps (s)

Figure II.25 : Angles mesurée et estimée Figure II.26 : erreur de vitesse (tr/min)

37

L'erreur de vitesse ne dépasse pas 10tr/min pour un double échelon de vitesse de 200 vers 1000tr/min (Figure II.26), ceci avec un bruit de 5% sur les mesure et un OFFSET de 0.08V pour les tensions et 0.02A pour les courants.

temps (s)

Figure II.27 : erreur de position électrique

L'erreur de position électrique dans ces mêmes conditions ne dépasse pas 2,3°, même en tenant compte de tous ces bruits. Ces résultats nous permettent d'affirmer que l'observateur converge avec efficacité et arrive à s'en passer des bruits de mesures.

Nous choisissons maintenant des valeurs propres de la matrice d'état de l'observateur proportionnelles à la valeur absolue de la vitesse. P₀ = ù ( - k _reel + jki_m), cette stratégie permet un bon rejet des bruits de mesure.

temps (s) temps (s)

Figure II.28 : Couple électromagnétique (Nm) Figure II.29 : vitesses mesurée et estimée

38

temps (s) temps (s)

Figure II.30 : Angles élec mesurée et estimée Figure II.31 : erreur de vitesses (tr/min)

Nous constatons dans ce cas que l'allure du tracé du couple ainsi que de la vitesse est presque la même. Le fait de prendre des valeurs propres dynamiques adaptées à la vitesse n'affecte pas l'allure de la vitesse elle-même par contre nous constatons un bon rejet des perturbation au niveau de la positon électrique estimée. Nous avons maintenant une erreur d'environs 0.01rad soit 1,1° (Figure II.32) pour la position électrique. C'est une valeur très négligeable.

temps (s)

Figure II.32 : erreur angle électrique (rad)

6.3. Simulation en pleine charge (la charge nominale de notre machine est de 0.8Nm)

La charge nominale de notre machine étant de 0.8Nm, nous simulons la commande vectorielle avec cette charge et nous obtenons les courbes suivantes.

L'erreur de position est dans ce cas décalée de -0.02 par rapport au premier cas où nous considérons seulement une charge de 0. 14Nm.

39

temps (s) temps (s)

Figure II.33 : Vitesses mesurée et estimée tr/min Figure II.34 : erreur de vitesse pleine charge

temps (s) temps (s)

Figure II.35 : erreur de position pleine charge (rad) Couple Electromagnétique pleine charge (Nm)

7. Conclusion

Nous avons présenté dans cette section la synthèse d'un observateur de position d'ordre complet de type Luenberger destiné à la commande vectorielle de la MSAP. Après avoir présenté le modèle de la machine sur lequel notre observateur d'état se base pour reconstruire la position et la vitesse, nous avons essayé d'éclaircir le dimensionnement et le principe de calcul des différentes matrices de l'observateur. Ensuite nous sommes passés à la simulation de la commande vectorielle en utilisant notre estimateur dans le cas idéal sans bruit ni OFFSET et dans un autre cas où nous considérons les mesures avec des bruits et des offset. Nous avons remarqués après analyse des résultats de simulation que non seulement l'observateur répond et converge très rapidement mais elle marche très bien et il réalise bien la commande sans avoir recours au capteur.

40

III. OBSERVATEUR REDUIT DE POSITION BASE SUR LA

RECONSTRUCTION DES FLUX STATORIQUES

1. Introduction

Pour minimiser le temps de calcul et alléger le programme, nous avons pensé à améliorer notre observateur en minimisant l'ordre à l'ordre deux. Cela est possible car une partie du vecteur d'état peut être reconstituée facilement. Nous proposons donc dans cette section un observateur réduit basé sur le modèle de la machine et sur les mêmes équations d'état.

2. Equations d'état On considère les mêmes équations d'état que précédemment avec comme :

T

Entrées : u=v_á v_â

Vecteur d'état : x= Ö _á Ö _â Ö _má Ö mâ T

Sorties : y=i_á i_â T

Ö - ô ô

0 0 1 0

Ö

á á

d v

Ö 0 0 0 1

? Ö

ô ô

â â á

= +

dt v

Ö 0 0 0 0 0

- ù Ö

m á e m á â

Ö 0 0 0 0 0

ù Ö

m â e m â

i á

1/ 0 1/ 0

L L

-

x

i L L

0 1/ 0 1/

-

â

3. Estimation de la position du rotor 3.1. Synthèse de l'Observateur réduit

On veut faire un observateur d'ordre réduit car nous constatons ici que les états Ö_á et Ö_â peuvent être obtenus par une combinaison des mesures, donc il nous restera seulement Ö má et Ö _mâ d'autant plus que ces deux derniers états sont largement suffisants pour reconstituer la position électriqueè_e . Nous réarrangeons l'équation d'état comme suit :

Ö 0 0 0 0 0

- ù Ö

m á e m á

dvÖ ù 0 0 0 0 0
m â e m â á
= +
Ö
Ö ô ô

? Ö v

0 0 1 0

dt á á â

Ö 0 0 0 1

ô - ô Ö

â â

41

On pose :

1 0 I=et 0 1

J=

0 1 - 10

On pose donc les nouvelles matrices réduites :

A11 = Jù e ; A₁₂ = [0] ; A₂₁ = ôI ; A₂₂ = -ôI ; B 1 = [0] ; B₂ = I

Et

Ö Ö

m á

Ö â

v = ; y á

Ömâ

On a donc :

v &= A11v+A12y+B 1 u
y&- A22y-B2u = A21v

3.1.1. Principe de l'observateur d'ordre réduit Nouvelle entrée : A₁₂y + B₁u

T

Nouveau vecteur d'état : v=Ö m á Ömâ

Nouvelle sortie : y&- A₂₂y - B₂u

On pose z=v à -Gy

z A G A z A G A G A G A y B GrB u

& = - + - + - + -

( 11 21 ) [( 11 21 ) 12 22 ] ( 1 2 )

r r r r

v z G y

à = + r

On se donne le polynôme caractéristique suivant :

f(s) = (s - ë ₀ ) = s - 2 ë ₀ s + ë ₀ avec ë₀ pôle stable plus rapide que le système de

2 2 2

commande et plus rapide que le procédé. 3.1.2. Observabilité

L'observateur d'ordre réduit que nous utilisons dans cette section se base sur le même modèle de la machine que précédemment que nous avons déjà fait l'étude de l'observabilité. Si la paire (A,C) est observable _(A11,A22) l'est aussi [OSTER].

42

A1 1-GrA21

B1-GrB2

atan

è^à_e

váâ

+

+

A12-GrA22

G_r

y

iáâ

L

+

và

Figure II.36 : schéma de principe de l'observateur réduit

3.1.3. Calcul du gain de l'observateur réduit Gr

avec

g g

On se propose un gain Gr de la forme : 11 12

G =

^rg g

21 22

g11 = g₂₂ = g₁ et g₂₁ = -g₁₂ = g₂

g g - 1 0 0 1 - Donc on a : 1 2 G g g g I g = = + = + r 1 2 1 2 g g 0 1 1 0 2 1

J

On pose aussi F = A₁₁ - G r A21

F =ù _e J-G _r ôI=ù _e J-ô [g₁I+g₂J]

0 1 0 0

- g g

1 2

F = ù - ô -

^e 1 0 0 0

g g

1 2

- - +

ô ù ô ô ù ô

g g s g g

+ -

1 2

e 1 2

e

F = ( )

sI F

- =

ù ô ô ù ô ô

- -

g g - - +

( 2 ) 1

g s g

e 2 1 e

det( ) ( 1 ) ( e 2 ) 2 1 ( ₁ ) ( 2 )

sI - F = s + ô g + ù - ô g = s + ô g s + ô g + ù e - ô g

2 2 2 2 2

Puisque nous avons cité plus haut que nous voulons une dynamique de

f ( s ) = ( s - ë ₀ ) = s - 2 ë ₀ s + ë 0

2 2 2

Donc on identifie membre à membre l'équation det(sI - F) = f(s) et on obtient :

- ë

0

- =

2 ₀ 2 g 1 g 1

ë ô =

ô

43

De même

ù

ë ô ù ô

0 ( ₁ ) ( 2 ) 2 e

2 2 2

= + -

g e g g =

ô

On obtient enfin la matrice gain :

ëù

- -

0 e

ë ù

0 e

ù ë

e 0

ëù

0 e

- ù ë

e 0

on pose G_r 0 =

-

g g

G_r

-

1 2 ô ô 1

= = = -

g g ù ë ô

2 1 e 0

-

ô ô

1

Donc 0

G r G r

= -

ô

F = A 11 - G _r A 21

3.1.4. Calcul de la matrice d'état réduit :

Ce sont les valeurs propres de cette matrice qui imposent la dynamique de l'observateur.

Nous avons vu que F = ù _e J - G _r ô I = ù _e J - ô [ g ₁ I + g ₂ J ] d'où :

- - +

ô ù ô ë

g e g 0

0

F = = = ë I

ù ô ô ë

2 1 0

1 2

- -

e g g 0

0

avec I matrice identité d'ordre 2

3.1.5. Calcul du gain K₀ = A₁₂ - G r A22

Nous savons bien que _A22 est une matrice nulle, il vient que :
K G _r A ¹ G _r ( ô I ) G r

= - = - = -

0 21 0 0

ô

3.1.6. Calcul du gain B₀ = (B₁ - GrB2)

1

B ( B G _r B ) G _r B G _r I B G r

= - = - = = -

0 1 2 2 0 0

ô

Récapitulons :

Nous avons les matrices suivantes pour l'observateur réduit :

0

ë 0

F=

-

G_r

0

G_r

0

ë 0

K 0

=

= -

B 0

ô

-

1 e

ë ù

0

ô ù ë

-e 0

1 e

ë ù

0

ù ë

e 0

ë ù

0 e

=

- ù ë

e 0

ë ù

0 e

- ù ë

e 0

44

3.2. Estimation de la vitesse

avec ô_ù =0.1s.

Nous utilisons le même estimateur de vitesse que précédemment :

( )

( ) ( )

v _á Ri á v _â Ri â

- + -

ù_e

2 2

=

Ö

m

4. Justification du choix des valeurs propres Nous avons vu que le modèle répond avec une dynamique assimilable à un premier ordre

1

de la forme :

1+ô_ùs

Pour choisir les pôles du gain de l'observateur, il faut tenir compte du fait que l'observateur doit avoir une dynamique beaucoup plus rapide que l'ensemble moteur convertisseur.

Comme précédemment, nous choisissons ë₁ = -90 un pôle double pour notre observateur.
Nous remarquons que cette valeur est nettement supérieure à 10, nous avons une dynamique neuf fois plus rapide.

5. Choix de valeurs propres dynamiques

Le fait de choisir des valeurs propres qui ont une dynamique rapide par rapport à la pulsation électrique rotorique ù_e réduit l'erreur de l'estimation de position.

6. Simulation sous MATLAB SIMULINK 6.1. Résultats de simulation et interprétations

temps (s)

temps (bis)

Figure II.37 : Couple électromagnétique (Nm) Figure II.38 : Réponse de l'angle électrique

Les courbes des Figure II.37, Figure II.38 et Figure II.39, nous montrent bien que la dynamique de cet observateur réduit est la même que celle à ordre complet. Ce qui est logique car nous nous basons sur le même modèle et que nous choisissons des valeurs propres qui sont les mêmes pour les deux cas de figures.

45

Nous avons réalisé la simulation dans le cas idéal sans tenir compte des perturbations dans un premier temps. Nous remarquons que l'erreur de position est nulle ainsi que l'erreur de vitesse.

temps (s)

temps (as)

Figure II.39 : Vitesses estimée et mesurée tr/min Figure II.40 : Erreur de position (rad)

temps (s)

Figure II.41 : erreur de vitesse

6.2. Simulation en tenant compte des bruits et de l'OFFSET (plus proche de la réalité)

Comme précédemment dans le cas de l'observateur de Luenberger d'ordre complet on applique les mêmes conditions de perturbation afin de s'approcher un petit peu de la réalité.

Même en tenant comptes des bruits et de l'OFFSET au niveau des mesures des courants et des tensions qui sont les entrées de notre observateur, nous remarquons que les deux courbes de la vitesse mesurée et celle estimée sont pratiquement collées (Figure II.43). L'erreur de vitesse dans ce cas ne dépasse pas 5tr/min pour un échelon de référence de 1000t/min (Figure II.42).

46

temps (s)

temps (s)

Figure II.42 : Erreur de vitesse en tr/min Figure II.43 : vitesses mesurée et estimée (tr/min)

temps (ris)

temps (us)

Figure II.44 : erreur de position (rad) Figure II.45 : Angles élec mesuré et estimé (rad)

6.3. Simulation en tenant compte de la charge nominale 0.8Nm

temps (s) temps (s)

Figure II.46 : Vitesses mesurée et estimée tr/min Figure II.47 : erreur de vitesse en tr/min

47

temps (s) temps (s)

Figure II.48 : erreur de position (rad) Couple électromagnétique en (Nm)

7. Conclusion

L'observateur présente les mêmes performances que l'observateur étudié en premier lieu, avec les avantages suivants :

y" Ordre réduit donc programme moins lourd y" Temps de calcul minimisé

y" Bon rejet des perturbations

IV. OBSERVATEUR REDUIT BASE SUR LA RECONSTRUCTION DE LA VITESSE

1. Introduction

Concernant l'observateur que nous avons étudié au tout début de notre stage, il se base sur
le modèle de la machine dans le référentiel de Park. Ce modèle proposé initialement dans

T

[TAT] a pour vecteur d'état x=i_q ù_m , et comme i_q peut être reconstitué à partir

des mesures, il vient l'idée de faire un observateur réduit pour ne reconstruire que la vitesse puis la position par la technique d'intégration.

2. Equations d'état

On considère un autre modèle de la PMSM dans le référentiel (d-q). On a :

v d = R 0 i d + 10
v q 0 R i q 01

+ e d

e_q

di_d

dt

di_q

dt

48

di

v Ri L p Li

d

d d m q

= + - ù

dt

di

v Ri L p Li p

q

q q m d m m

= + + + Ö

ù ù

dt

T C K i

= =

e em T q

d C C

ù -

m em r

On s'intéresse au modèle découplé : on définit donc :

dt J

u v p Li

= + ù

d d m q

u v p Li

= - ù

q q m d

On a donc les équations d'état suivantes :

d k

ù m T

0

dt J ù m

= +

di K R i

q e q

-

-

dt L L

0

1 u_q

L

[ ]

0 1

ù m

y=

i q