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Une description de differentes options exotiques à partir du modèle de Cox Ross et Rubinstein sur quelques periodes


par Jean charles Richard
Université Bordeaux 4 - Master 2007
  

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UNIVERSITE MONTESQIEU BORDEAUX IV

Une description de différentes options

exotiques à partir du modèle de Cox

Ross et Rubinstein sur quelques

périodes.

MÉMOIRE

soutenu le 20 mai 2008
pour l'obtention du

Master 1 Mention Ingénierie Mathématique, Statistique et
Economique

(Ingénierie Economique)
par

Richard Jean-Charles

Composition du jury

Mme. Christine Marois

Melle. Benoite de Saporta

Remerciements

Je tiens à remercier Mme. Christine Marois, responsable de loption, pour mavoir conseillé et encadré tout au long de ce travail

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION 1

Partie I Introduction du modèle 4

CHAPITRE 1:

LE MODÈLE DE COX ROSS RUBINSTEIN

1 Les hypothèses du modèle . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Le modèle sur une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Le modèle sur T périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Les options dans le modèle CRR . . . . . . 12

5 Un choix de u, d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Partie II Quelques options "path independent" 17

CHAPITRE 1:

LES OPTIONS BINAIRES

1

L'option cash or nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

 

1.1

Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

 

1.2

Expression mathématique. . . . . . . . .

20

 

1.3

Convergence du modèle de Cox Ross Rubinstein

21

2

L'option asset or nothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

 

2.1

Exemple ....... . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

 

2.2

Expression mathématique. . . . . . . . .

26

 

2.3

Convergence du modèle de Cox Ross et Rubinstein

28

3

La formule de Black et Scholes. . . . . . . . . . . . . .

30

CHAPITRE 2:

LES OPTIONS SUR OPTIONS 34

Partie III Quelques options path dependent 41

CHAPITRE 1:

LES OPTIONS LOOKBACK

1 Le call lookback fixe européen . . . . . . . . . . .

2 Le call lookback flottant européen . . . . . . . . . .

3 Evaluation du call lookback flottant pour r = ó 2 . . . . . .

. . . . . . . . .

44

45

47

CHAPITRE 2:

LES OPTIONS BARRIÈRES

52

 

1 Evaluation par l'arbre binomial . . . . . . . . . . . . . . .

. .

54

CONCLUSION

60

 
 
 
 

BIBLIOGRAPHIE

61

 
 
 

iv

Table des figures

1

Arbre binomial à une période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2

Arbre binomial à trois périodes . . . . . . . . . . . . .

8

1

Exemple du payoff cash or nothing K=100, Q=10, T=1 an

18

2

Evaluation du call cash or nothing dans l'arbre binomial

19

3

Exemple du payoff asset or nothing K=100T=1 an

25

4

Evaluation du call asset or nothing dans l'arbre binomial

26

5

Exemple de payoff de l'option vanille K=80, T=1 an

30

6

Evaluation d'un call vanille . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

7

Convergence vers Black et Scholes . . .

33

1

Evaluation d'un call sur call . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2

Evaluation d'un put sur put . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3

Evaluation d'un call sur put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4

Evaluation d'un put sur call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1

payoff du call lookback fixe . . . . . . . . .

43

2

payoff du call lookback flottant . . . . . . .

43

3

arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice fixe

45

4

arbre d'évaluation d'un call lookback à prix d'exercice flottant

46

5

Encadrement de la trajectoire de St . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

6 Le principe de réflexion du brownien . . . . . . . . . . . 49

7 Call lookback flottant pour r = ó 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1 exemple de barrière up-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Le problème de la barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 encadrement de la barrière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 encadrement de la barrière sur un noeud . . . . . . . . . 57

5 Option up and out avant interpolation . . . . . . . . . . 58

6 Option up and out après interpolation . . . . . . . . . . . 59

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