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Une description de differentes options exotiques à partir du modèle de Cox Ross et Rubinstein sur quelques periodes

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par Jean charles Richard
Université Bordeaux 4 - Master 2007
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INTRODUCTION

Dans les années 1980, suite aux variations des taux dintérêtréels sur les marchés, les produits dérivés tels que les options se sont développés. En effet la formule d'évaluation des options sur actions découverte par Black et Scholes en 1973 a permis une meilleure compréhension de ces outils financiers , et un nouvel horizon de choix tant au niveaudes stratégies d'investissements que des couvertures de portefeuilless

L'option est alors devenue un instrument majeur et incontournable en finance comme le montrent les nombreuses pertes subies récemment par certaines banques et entreprisess Les sommes mises en jeu étant de plus en plus colossales, les entreprises et lesbanques ont fait apparaitre sur les marchés les options dites de « seconde génération »ou «exotiques qui permettent de répondre à des besoins de couvertures ou encore despéculationde plus en plus précis.

Ces options sont conditionnées par différentes contraintes qui permettent de construire des stratégies en fonctions du marchéOn peut classer les options exotiques endeux catégories : les !path dependent", c'est à dire dont le prix dépend detoutes les valeurs que le sous jacent peut prendre, et les path independent" dont le prix ne dépend que de la valeur finale du sous jacent pour les options européennes.

Le modèle développé par Cox Ross et Rubinstein en 1979 est lanalogue en temps discret de celui du modèle de Black et Scholes. Ce modèle est couramment appelé le modèle binomial car on y représente l'évolution du sous-jacent sous formedun arbrebinaire où à chaque période le sous-jacent ne peut prendre que deux valeurs.

Nous allons tenter d'exposer ici dans un premier temps ladéfinitiondu modèlebinomial, pour s'intéresser ensuite aux différents types doptions exotiques ainsi que leurs évaluations

en temps discret et une approche en temps continu

Première partie

Introduction du modèle

CHAPITRE 1

LE MODÈLE DE COX ROSS RUBINSTEIN

1 Les hypothèses du modèle

Le modèle développé par CRR est basé sur plusieurs hypothèses.Le prixdes différents actifs reflète à tout moment toute l'information disponible. Tout le monde possède la même information tout le monde doit pouvoir accéder au marché et il nexiste pas de coûts de transaction (commissions, frais de courtage.) De plus tous les actifs sont supposés parfaitement divisibles et liquidesLe taux de placement est le même que le tauxdemprunt, on l'appelle le taux sans risque r. Enfin la vente à découvert est autorisée.

On admettra aussi la proposition suivanteLa diffusion suivie par le soussjacent correspond à un mouvement brownien géométrique sous la probabilité historique

dSt =uStdt+óStdWt

où les variables sont au temps t :

St

u
ó

prix du sous jacent

la moyenne du taux de rendement de l'actif Volatilité du sous jacent

Wt

un mouvement brownien

Où W t est un mouvement brownien standard. Cette idée futintroduite par LouisBachelier en 1900 puis reprise par Black et Scholes dans leur célèbre modèle dévaluationdes options européennes.

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