4 Les options dans le modèle CRR
Une option, ou plus généralement un actif
dérivé, est un actifdont la valeurdépenddes prix d'autres
actifs (ou sous jacent)actionsobligations, tauxdintérês.... Une
option est un contrat qui donne le droit et non l'obligation au souscripteur de
vendre/dacheter un sous-jacent à un prix donné (le strike),
à un moment donné (option européenne) ou jusquà un
moment donné (option américaine). Nous nous intéresserons
seulement aux options européennes. On introduit alors quelques
notations
~ T : la durée de vie de l'option
- K : le prix d exercice de l'option
- St : cours de l'actif sous jacent au temps t
Si on reprend les notations de hausse u et de baisse d, pour h
hausses l'actif risqué vaut au temps t St = uhdt_h avec h E
{0,1,...,t}.
Nous avons deux types d'option, les achats (call) et les ventes
(put)
Définition 3. Un call/put européen est un
contrat entre deux parties par eeuel'une ac corde à l'autre le droit
(mais nonl'obligation) de lui acheter/vendre auprixK un actif au terme T.
Nous étudierons seulement les calls dans un premier temps,
puis les puts quinous le verrons sont liés par une relation aux calls
Définition 4. Le payoff d'un call européen (resp
put) àl'échéance est fonction dea diff férence (ST
- K) (resp (K - ST)) . Si elle est positive on la note (ST - K)+ et
alors
St = uhdt--h > K (resp (K --
ST)+ et alors St = uhdt--h > K), l'option
est exercée et la valeur du payoff prend différentes formes selon
le type d'option, sinon e payoff vaut 0 et l'option n'est pas exercée La
valeur dun call à la date t = 0 est donc l'espérance
actualisée sous la probabilité risque neutre du payoff du
call.
On note xt la somme investie en sous-jacent durant la
période [t, t + 1] et yt la somme placée au taux sans risque
durant la même période.
On cherche à évaluer un call au temps t. Pour cela
on constitue un portefeuille au temps t en achetant xt unités de
sous-jacent et en plaçant un montant yt au taux sans risque r. La valeur
du call en t est équivalente à la valeur du portefeuille en t
:
Ct = xtSt + yt
En t + 1 le sous-jacent peut prendre deux valeurs, donc le
portefeuille Ct+1 s'écrit :
|
{
|
Cut+1 = xtuSt + yt (r +1)
Cdt+1 =
xtdSt + yt (r + 1)
|
{
xt =
yt =
On a un système à deux équations et deux
inconnues xt et yt. La résolution donne :
Cu --Cd
t+1 t+1
St(u--d)
uCd --dCu
t+1 t+1
(1+r)(u--d))
En remplaçant dans l'équation initiale on trouve la
valeur du call à la date t :
Cu t+ 1 -- Cdt+ 1
Ct =
( u -- d) +
uCdt+1 -- dCut+1
(1+ r) (u -- d))
que l'on peut réécrire
~ ~
1 1 + r - d u - (1 + r)
Ct = Cu t+1 u - d + Cd t+1
(1 + r) u - d
On reconnait alors la probabilité risque neutre que lon
a déja définie et donc Ct =
[ 1 ]
E1 (1+r) Ct+1 | Ct . On en déduit que le call
actualisé au taux sans risque sous la probabilité risque neutre P
possède la propriété de martingale :
|
Ct
|
~ Ct+1 ~
= E1 (1 + r)t+1 | St
|
|
(1 + r)t
|
Proposition 3. Le prix d'un call européen à la date
t = 0 dans le marché CRR est donné par la formule :
C0= (1+r)T .
XT ~T ~
(ph)(1 - p)T -h(SuhdT -h -
K)+
h
h=0
1
5 Un choix de u, d
Pour que le modèle soit conforme aux hypothèses
de Black et Scholes il faut que la variance du sous jacent de notre
modèle sous la probabilité risque neutre soit la plus proche de
celle de l'univers réel, c'est à dire de l'univers sous la
probabilitéditehistorique Q. Puisque la probabilité risque
neutre, nousl'avons vu, ne dépend que de u et d il nous faut donc bien
estimer ces paramètres en fonction du nombre de périodes du
modèle.
On divise la durée T de vie de l'option en n
périodes de durée de A = T et les coefficients à chercher
sont notés u et d pour ce partage en n périodes. On se place sur
une période I = [0, Ä ].On admet que Ä est très proche
de 0. On a vu en première partie que c'était le taux de rendement
de l'actif qui augmentait ou diminuait
On a Sn = Suhn-h, en
passant au log on obtient le taux de rendement log-normal suivant
(ST
ln in ( ST ST-1
S1)
S ) 1 \
\ST-1 ST-2 . . S
= ln
(ST ) ( ST-1) \ST-1 j \ST-2
+...+ln (S2) +ln(S1) S1 S
?t E {0, ..,T}et ?ît E {d, u}
De plus le changement de la probabilité historique
à la probabilité risque neutre ninfluant pas sur la variance,
l'hypothèse :: de: = udt+ówt, t E [O ,T] implique que
sous la probabilité historique ln (ST) suit une loi normale de variance
ó2T et donc il en est de même pour la variance de ln
(Sj) sous la probabilité risque neutre. En notant Sk =
SkAn pour tout k E [1, .., n] on a sous la probabilité
historique Q, par indépendance sur les périodes :
VQ [ln ( Sn )1 =VQ [ln G,Sn )1 + VQ [ln
( SSn-1 )1 +...+ V [ln (S1S2 )1 + VQ [ln (S1)
) 21
=n [qn (ln (un))2 + (1 -
qn) (ln (un))2 - (qn (ln
(un))2 + (1 - qn) (ln
(dn)))21 =n [qn (1 - qn) ln un
dn
On doit donc choisir un et dn tels que :
|
lim
n?+8
|
n[qn (1 - qn) (ln
(udni
|
21 = ó2T
|
Par ailleurs sur la probabilité historique on a la
contrainte sur lespérance
|
lim
n?+8
|
n [qn ln (un) + (1 - qn) ln
(dn)] = uT
|
On peut faire le choix un = dn 1 ce qui donne :
limn-4+00 (1 - qn) 4nqn (ln
(un))2 = ó2T lim
(2qn-1)nln(un)=uT
n-4+00
qT
Si on choisit ln (un) =ó n il faut
s'assurer de la compatibilité entre
|
?
?????
?????
|
lim
qn(1-qn)4n(ln(un))2 =1
n-4+00
sv/
lim (2qn - 1) n ln (un) = u T
n-4+00
|
v v
ce qui est le cas pour (2qn - 1) = u óvn
et donc qn = 1
T 2 + u 2óvn La probabilité risque
T
neutre est alors :
1 + rn - e-óvÄn er4n+óvn - 1
|
pn =
|
==
eóvÄn - e-óvÄn
|
|
|
e2óvn - 1
|
Pour n suffisamment grand, An proche de O on peut
utiliser le développement limité
ex 1 + x pour x proche de zero
D'où
|
lim pn =
n-4+00
|
1
2
|
|
lim
n-4+00
|
4pn(1 - pn) = 1
|
( (ST ))
et donc sous la probabilité risque neutre on a aussi VP ln
= ó2T
S
| 
