3.4 Aspect mécanique
Lorsqu'un corps est déformé sous l'action de
forces extérieures, il absorbe une énergie équivalente au
travail fourni par ces forces. Cette relation peut s'écrire sous la
forme suivante :
S(x, y) = U(x, y) + W(x, y). (3.6)
Faire la simulation du mouvement des feuillets de la valve
aortique pendant leurs ouvertures par le modèle masses ressorts nous
amène à faire un programme numérique sous matlab.
3.5 Aspect hydrodynamique
Le flux sanguin quitte le ventricule gauche avec une vitesse
U0 et une pression intra-ventriculaire Pv qui dépasse la
pression dans l'aorte Pa, appuyant sur les feuillets, cette
différence de pression provoque l'ouverture de la valve.
Le comportement de ce fluide peut être décrit par
Bernoulli, l'énergie mécanique est exprimée par la
relation suivante :
2pU2 +p + pgz = cste. (3.7)
1
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CHAPITRE 3. SIMULATION D'UN MODÈLE SIMPLE
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Où p la pression, pgz la pression de la
pesanteur,1 2pU2 la pression cinétique.
La conservation du debit est donnée par la relation suivante :
U(x)S(x) = cste. (3.8)
Où U est la vitesse du flux et S est la section de la
paroi.
La lois de la conservation de l'énergie
mécanique et du débit volumique du fluide nous permet
d'écrire l'expression de la pression p(y) exercée sur les
feuillets de la valve pour chaque déplacement Y :
1 2pU2 0+p0 = 1 2pU2 +p.
(3.9)
U0S0 = US. (3.10) Ce système bidimensionnel consiste
à calculer la pression suivant une seule direction ?oy, cette pression
peut s'écrire sous la forme suivante :
1 1
p(y) = p0 + 2pU2 0 (1 - (S0
0 - 2pU2 S )2). (3.11)
1 H4
- y)4). (3.12)
p(y) =p0+ 2pU2 0 (1 - (H
Où H est la distance entre l'axe de la valve et la racine
du sinus de la valve. Le travail fourni de la pression p(y) peut
s'écrire sous la forme suivante :
1 H4
W (y) = (P0 + 2pU2 0 )(y) - 1 2PU2 0 3(H -
y)3 . (3.13)
Aprés avoir écrit toutes les équations
nécessaires pour notre modèle, nous avons developpé un
algorithme sous matlab qui nous permet de chercher le minimum de
l'énergie fournit à chaque postion d'equilibre de la masse, et de
tracer les courbes de déplacements/forces de pression pour chaque
instant t. On veut minimiser la fonction S à l'aide de la commande
»fminsearch», le principe consiste qu'à chaque instant t, il
cherche le minimum M et la position d'équilibre correspondante.
MinS(x,y)=M
(x,y)E[0;2]×[0;2] . (3.14)
3.6 Résolution numérique 3.6.1
Objectifs
Dans cette étude nous avons choisi Matlab, ce logiciel
est largement utiliséaussi bien par les universitaires, que
par les industriels, il est doté d'une
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CHAPITRE 3. SIMULATION D'UN MODÈLE SIMPLE
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bibliothèque très variée de fonctions
(Toolboxes) qui s'adapte à tous les types de problème. Le calcul
consiste en l'étude de la valve simplifiée soumise à une
force de pression imposée à ses feuillets, en négligeant
l'interaction fluide- structure, en observant sa réponse.
3.6.2 Calcul numérique
La fonction »fminsearch» sous Matlab calcule
numériquement le minimum de la fonction S(x,y) pour chaque position Y de
la masse in, en faisant varier la pression p0 et la vitesse U0 en fonction du
temps t.
Ce programme calcule en même temps la pression p(y) du
fluide exercée sur la masse in du noeud pour chaque position Y.
L'énergie potentielle élastique du système
s'écrit :
k[(r13 - r130)2 + (r32 -
r320)2]. (3.15)
2
1
U =
Le déplacement peut s'écrire sous cette forme :
/rij = (xi- xj)2 + (yi - yj)2. (3.16)
Etat final des ressorts (k13 et
k32) s'écrit :
/r13 = x2 3 + y2 3. (3.17)
/r32 = (x3 - 2)2 + y2 3.
(3.18)
Etat final des ressorts (k13 et
k32) s'ecit :
/r130 = X2 30 + X2 03. (3.19)
/r320 = (X20 - X03)2 + X2 03. (3.20)
(3.21)
Avec X20 = 2, X30 = X03 = 1.
3.6.3 Interprétations
Une animation de la déformation des ressorts et le
déplacement de la masse in qui simule l'ouverture de la valve a
été réalisée. Nous avons écrit des
équations qui tracent la position initiale de notre système, le
programme qui a été élaboré pour minimiser la
fonction S, il trace en même temps à
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CHAPITRE 3. SIMULATION D'UN MODÈLE SIMPLE
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chaque instant t la nouvelle position de la masse in, ces
dessins animés de la déformation du système nous
permettent de bien voir l'instabilité du système dès que
la masse in parcoure la moitié du chemin (de 1 à 0,5cm) les
ressorts flambent.
Cette animation nous montre le comportement non-linéaire
de ce modèle discret et le flambement des ressorts à la zone de Y
0, 5.
3.6.4 Conclusion
Le système est instable, nous avons un flambage des
ressorts, le déplacement Y de la masse in ne peut pas atteindre la
position maximale proche de zero (l'ouverture maximale des feuillets), nous
avons essayé de faire varier les
raideurs des ressorts, ils nous faut plus de temps pour peut
étre réussir àstabiliser le système.
Pour cela nous avons procédé au calcul analytique.
3.6.5 Calcul analytique
Calculer analytiquement le minimum de la fonction S(x,y) c'est
déterminer la position Y de la masse in où la
dérivée de cette fonction soit nulle.
Cette position doit étre proche de zéro ce qui peux
expliquer que la valve est ouverte au maximum.
En faisant varier la pression p0 et la vitesse U0 en fonction
du temps t, nous avons fait un autre algorithme qui calcule le minimum de
S(x,y) sous Matlab, et il trace les courbes, de déplacement Y et les
vitesses U0 et U à chaque instant t, qui sont représentées
ci-dessus.
.
La pression p(y), exercée sur les feuillets de la valve
aortique, est calculée par ce même algorithme, il trace aussi sa
courbe qui est la réponde du système masses ressorts, voir la
figure 3.4.
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