Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

1.1. Résultats préliminaires

1.1.3 Estimations utiles

Lemme 1.1.1 Soit k 2 (0, 2) et 1 < p < 1 + 42k

_N2 pour N > 2, alors

]c > 0 telle que

I 1Z1 1X1^-k 1211^19-1 -- 171119-11ICI I I dx< cfllz Our -- Ivr^-1)11Lo 11(PM k~kL~

RN

~

+ ~z (Iur^-1-- Ivr^-1)1La IIPIILT MIL^T} (A.¹)

Pour tout z 2 (R^N) et u,v,c,a, 2 H¹ (R^N), oit -- 1)0 =
·-y = q 2 ~N(p+1)

Nk ; 2^*) et

(p -- 1)o^- = T p +1.

En particulier, il existe D > 0 tel que

I RN	IzI jxj^~k14^9-1 140111 dx < DIIzIILOO 17kp~1 H^1(R^N) 141H^1(R^N) 10H1(RN) (A.2)

Pour tout z 2 (R^N) et u,c,a, c 2 1/¹ (R^N) :

Demonstration. L'inégalité de Holder avec quatre exposants donne

I 13(0,1)

1Z1 1X1^-k HT/I^P-1 -- 17)1^19-11(p111 dx <

8 <> Z :> 13(0,1)

jxj^~k~ dx

9 >= ;>

1 a

11z (171119-1-^1711-1)ILO 1141,7 k~kL~

On et ry sont choisis tels que ¹ ~+ 1 ~+ ~ 2 = 1, on a alors

1

= 1 -

0

0q -- q -- 20

=

0q

~(q -- 2) _--(P-- 1)0
Oq

q --(P+1) = q

1
a

~

2
~

D'on a = q

q-(p+1)'

On a

8 <> Z :> 13(0,1)

jxj^~k~dx

9 >= ;>

1 ~

est fini si et seulement si N -- ka > 0, or

k q N (p + 1)

N ~ k~ > 0 () N > q ~ (p + 1) () N [q ~ (p + 1)] > q k () q > N -- k

D'apres Phypothese on a q 2 (NN-k ⁱ⁾ ) ^2*) '

Donc, ] K > 0 tel que,

I 1Z1 1X1^-k 1711^19-1 -- 1V1^1-111(1 11 dx < K 11.z (1u1^9-1 -- 1v1^9-1)1₁0 Il'Il₁₇ Il~Il_L7

13(0,1)

D'autre part, en utilisant l'inégalité de Holder avec trois exposants, il vient

I {xER^,,1x1>1}

1Z1 1X1^-k 1u1^9-1 -- 1V1^1-1~1(1 11 dx <Ilz ~1u1^p-1 -- 1v1p-1) La Il'IlL, Il~IlL,

On 0 ", r E (2, 2^*) sont choisis comme dans l'énoncé. Il suf fit de poser c = max {K, 1} pour obtenir (A1) .

Pour (A2) , il suffit de poser v = 0 dans (A1) et d'utiliser les inégalités de Sobolev.

1.1.4 Convergence faible

Dans les applications, il est rare que l'on puisse montrer qu'une suite converge en exhibant sa limite. Si l'on parvient a démontrer que la suite appartient a un compact, alors l'existence d'une valeur d'adhérence est assurée, ce qui est souvent une étape fondamentale pour résoudre des problèmes d'analyse. En dimension infinie, la topologie de la norme est trop forte en ce sens qu'elle ne fournit que peu d'ensembles compacts. Nous allons dès lors affaiblir la notion de convergence, ou de manière équivalente munir l'espace d'une topologie plus grossière, pour augmenter le nombre d'espaces compacts. Ce but sera atteint grace a la notion de convergence faible que nous allons introduire dans cette section.

Definition 1.1.4 Soient E un espace de Banach, (x_n)_fEN une suite d'elements de E et x E E.

On dit que (x_n)_nEN converge faiblement vers x dans E si

VI E E^',(f,xn)E^,E --> (i,x)E,E quand n --> cc

On note x_n--^, x.

Proposition 1.1.2 Soit (x_n)_nEN une suite de E. On a

(i)Si x_n --p x fortement alors x_n --, x faiblement.

(ii)Si x_n --
· x faiblement alors 114 < lim inf 11xmll
·

Demonstration.

(i)On suppose que x_n --p x c.a.d 11x_n -- x11 --p 0 lorsque n --p oo. Soit f 2 E^', on a 1(i, xn) -- (f,x)I=1(f,xn-- x)1 < 11f1111xn --x11

Or 11xn --x11 --p 0 et f 2 E^' implique 11/11 < oo, donc

1(i, xn) -- (f,x)I --p0 lorsque n --> 1

(ii)Si x_n --, x il est équivalent a (f, x_n)--p (f, x) implique la suite ((f, x_n))_n est convergente.

Donc la suite ((f, x_n))_n est bornée. Ainsi sup 1(1,xn)I < 00.

nEN

On pose T_n : E' --> R; f 1--> (f, xn) , on a T_n est linéaire continue,

de plus 1Tn1E' = sup {fEodifii<i}

l(f,xn>1 = 11xmll

D'apres ce qui précede on a sup 1T_n (f)1 <00.

nEN

En utilisant le théoreme de Banach-Steinhaus (Voir [5]), on a 9 c > 0 tel que

1⁷¹7/(i)1 c II/II

Donc, ]c > 0 telle que Vn 2 N, V f 2 E^'

V, xn)1 II/II 11xmll

lim inf n-->	l(f,xn)I < lim n-->	inf II/II 11xmll
lim inf n-->	1(f, xn)I II/II lim n!1		inf 11xn11
1(f, x)I II/II lim n!1			inf 11xn11

sup l(f,x)I < lim inf 11x_n11

{fEE',Ilfil<i} n-->

Par conséquent

kxk < uim inf kx_nk

fl-400